Nội dung bài viết Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng : Phương pháp giải. Trong khoảng trống Oxyz, cho ba vec-tơ a, b, c đều khác vec-tơ 0. Ba vec-tơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi a = b = c = 0. Ngược lại, ba vec-tơ a, b, c không đồng phẳng khi và chỉ khi a, b = 0. Trong khoảng trống Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi những vec-tơ AB, AC, AD đồng phẳng. trái lại bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi những vec-tơ AB, AC, AD không đồng phẳng. Ví dụ 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, xét sự đồng phẳng của những vec-tơ sau : a = ( 1 ; – 1 ; 1 ), b = ( 0 ; 1 ; 2 ) và c = ( 4 ; 2 ; 3 ). Lời giải. 1 Ta có : a, b = ( – 3 ; – 2 ; 1 ). Vì [ i, j ] = – 3.4 nên ba vec-tơ a, b, c không đồng phẳng. Vì MV, MP, MC = – 72 khác 0 nên những vec-tơ MN, MP MA không đồng phẳng hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Ví dụ 3. Trong khoảng trống với hệ trục tọa độ ( 0 ; i, j, k ), cho những điểm A ( 1 ; – 4 ; 5 ), B ( 2 ; 1 ; 0 ) và hai vec-tơ OC = k – 3, DO = 3 + 2 k. Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện. Vậy m = 3 là giá trị thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán. Ví dụ 5. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b, ở với a = ( 2 ; – 3 ; 5 ), b = ( 6 ; – 2 ; 1 ), c = ( 3 ; 0 ; 1 ) .Vậy A, B, C, D không đồng phẳng. Do đó AB và CD chéo nhau. BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 1. Chứng minh rằng bốn điểm A = ( 1 ; 0 ; 1 ) ; B = ( 0 ; 0 ; 2 ) ; C = ( 0 ; 1 ; 1 ) ; D = ( – 2 ; 1 ; 0 ) là bốn đỉnh của một tứ diện. Lời giải. Ta có AB = ( – 1 ; 0 ; 1 ) ; AC = ( – 1 ; 1 ; 0 ) ; AD = ( – 3 ; 1 ; – 1 ). AE, AC = ( – 1 ; – 1 ; – 1 ), vì AB, AC, AD = 30 nên A, B, C, D không đồng phẳng. Do đó A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Bài 7. Trong khoảng trống với hệ trục tọa độ ( 0 ; i, j, k ), cho những điểm A ( 1 ; – 4 ; 5 ), B ( 3 ; 2 ; 1 ) và hai vec-tơ OC = 5 + 3 k, DO = 7 – 3 k. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Chứng minh rằng bốn điểm O, M, N, P lập thành một tứ diện. Bài 8. Trong khoảng trống Oxyz, cho những điểm A ( m ; 1 ; 1 ), B ( 2 ; m ; – 1 ), C ( 3 ; – 3 ; m ) và D ( m ; – 1 ; 4 ). Tìm giá trị của m để bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng. VnHocTap. com trình làng đến những em học viên lớp 11 bài viết Sự đồng phẳng của ba vectơ trong khoảng trống, nhằm mục đích giúp những em học tốt chương trình Toán 11 .Nội dung bài viết Sự đồng phẳng của ba vectơ trong khoảng trống : Đồng phẳng của ba vectơ. Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét những vectơ = 2 a + b. Khẳng định nào dưới đây là đúng ? Giả sử, ba vectơ x, y, z đồng phẳng. Câu 2 : Vậy ba vectơ x, y, z đồng phẳn Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Khẳng định nào dưới đây là đúng ? Ba vectơ x, y, z đồng phẳng khi và chỉ khi với x = a – 2 b + 4 c, y = 34 – 36 + 2 c, z = 24 – 36 – 3 %. Vậy ba vectơ kể trên không đồng phẳng. Chú ý. Bạn đọc làm tựa như với những A, C, D để thấy được những vectơ x, y, z đồng phẳng. Cho ba vectơ a, b, c. Điều kiện nào dưới đây khẳng định chắc chắn ba vectơ a, b, c đồng phẳng ? Câu 3 : Với m + n + p = 0 = m = n = p = 0 nên chưa Tóm lại được ba vectơ a, b, c đồng phẳng. Câu 4 : Suy ra sống sót n, p để ba vectơ a, b, c đồng phẳng. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Khẳng định nào dưới đây là đúng ? Ta có AD = AD = AC + CD suy ra CD, AD, AC đồng phẳng. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành BCGF. Khẳng định nào dưới đây là đúng ? Vì I, K lần lượt là trung điểm của AF và CF. Suy ra IK là đường trung bình của tam giác AFC suy ra ba vectơ BD, IK, GF đồng phẳng. Câu 6 : Cho hình hộp ABCD.A ’ B’C ’ D ’. Gọi I, K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A ’ và BCC’B ’. Khẳng định nào dưới đây là sai ? Dựa vào đáp án, ta thấy rằng : vì IK, AC cùng thuộc mặt phẳng ( BẠC ). Câu 7 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định chắc chắn sai ? Ba vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC suy ra : MN = ( AB + DC và MN = 4 ( BD + AC ). Khi đó, dựa vào đáp án, ta thấy rằng : Vì MN = AB + DC = AB, DC, MN đồng phẳng. MN không nằm trong mặt phẳng ( ABC ). Câu 8 : Cho tứ diện ABCD. Trên những cạnh AD và BC lần lượt lấy điểm M, N sao cho AM = 3 MD, BN = 3NC. Gọi P, Q. lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. Ba vectơ BD, AC, MN đồng phẳng. B. Ba vectơ MN, DC, PO đồng phẳng. C. Ba vectơ AB, DC, PỘ đồng phẳng. D. Ba vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. Theo bài ra, ta có M, N lần lượt là trung điểm của PD, QC. Khi đó, dựa vào đáp án, ta thấy rằng : BD, AC, MN không đồng phẳng. Suy ra MN = PO + DC = BD, AC, MN đồng phẳng. Câu 9 : Cho tứ diện ABCD và những điểm M, N xác lập bởi AM. Tìm x để những đường thẳng AD, BC, MN cùng song song với một mặt phẳng. Yêu cầu bài toán tương tự với tìm x để ba vectơ MN, AD, BC đồng phẳng. Vậy ba vectơ MN, AD, BC đồng phẳng khi 2 + x = 0, x = – 2 .Câu 10 : Cho hình hộp ABCD.A ’ B’C ’ D ’. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AC = 3MC. Lấy N trên đoạn C’D sao cho CN = C’D. Với giá trị nào của x thì MN | | BD ’. Gọi O là tâm của hình hình hành ABCD và I là trung điểm của DD ’. Nối C’D cắt CI tại N ’. N ’ là trọng tâm của tam giác CDD ’. Ta có ai là đường trung bình của tam giác BDD ’ suy ra OI | | BD ’. Câu 11 : Cho hình chóp S.ABC. Lấy những điểm A ’, B ’, C ’ lần lượt thuộc những tia SA, SB, SC sao cho A = a, B = b, C = c, trong đó a, b, c là những số đổi khác. Để mặt phẳng ( A’B ’ C ’ ) đi qua trọng tâm của tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra Gi + GB + GC = 0. Khi đó 3GS + SA + SB + SC. Vì ( A’B ’ C ’ ) đi qua trọng tâm tam giác ABC suy ra GA, GB, GC đồng phẳng.
Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Định lý (Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng):
a ) Cho ( overrightarrow a, overrightarrow b ) không cùng phương, ba véc tơ ( overrightarrow a, overrightarrow b, overrightarrow c ) đồng phẳng ( Leftrightarrow exists m, n in R : overrightarrow c = m. overrightarrow a + n. overrightarrow b ) ( với ( m, n ) xác lập duy nhất .
b ) Nếu ba véc tơ ( overrightarrow a, overrightarrow b, overrightarrow c ) không đồng phẳng thì mọi véc tơ ( overrightarrow x ) đều được trình diễn dưới dạng ( overrightarrow x = m. overrightarrow a + n. overrightarrow b + p. overrightarrow c ) với ( m, n, p ) xác lập duy nhất.
CHƯƠNG III : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Vectơ, những phép toán vectơ trong khoảng trống được định nghĩa trọn vẹn giống như trong mặt phẳng, chúng có những đặc thù đã biết.
Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, ta luôn có:
USD overrightarrow { AC_ { 1 } } $ = $ overrightarrow { AB } USD + $ overrightarrow { AD } USD + $ overrightarrow { AA_ { 1 } } $
Trọng tâm của tứ diện: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi:
USD overrightarrow { GA } USD + $ overrightarrow { GB } USD + $ overrightarrow { GC } USD + $ overrightarrow { GD } $ = $ vec { 0 } $.
2. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ. ĐIỀU KIỆN ĐỂ BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG
Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng song song với một mặt phẳng.
Định lí 1 (Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng): Cho hai vectơ không cùng phương $vec{a}$ và $vec{b}$. Khi đó ba vectơ $vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có các số m, n sao cho $vec{c}$ = m$vec{a}$ + n$vec{b}$. Hơn nữa, các số m, n là duy nhất.
Định lí 2: Nếu ba vectơ $vec{a}$, $vec{b}$ và $vec{c}$ không đồng phẳng thì với vectơ $vec{d}$ bất kì, ta đều tìm được các số m, n, p sao cho $vec{d}$ = m$vec{a}$ + n$vec{b}$ + p$vec{c}$. Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Sử dụng : • Quy tắc ba điểm : Ta có : USD overrightarrow { AB } $ = $ overrightarrow { AC } USD + $ overrightarrow { CB } $, xen điểm C. USD overrightarrow { AB } $ – $ overrightarrow { AC } $ = $ overrightarrow { CB } $, hiệu hai vectơ cùng gốc. • Quy tắc hình bình hành : Với hình bình hành ABCD luôn có : USD overrightarrow { AC } $ = $ overrightarrow { AB } USD + $ overrightarrow { AD } $. • Quy tắc hình hộp : Cho hình hộp $ ABCD.A _ { 1 } B_ { 1 } C_ { 1 } D_ { 1 } $, ta luôn có : USD overrightarrow { AC_ { 1 } } $ = $ overrightarrow { AB } USD + $ overrightarrow { AD } USD + $ overrightarrow { AA_ { 1 } } $ • Quy tắc trung điểm : Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôn có : USD overrightarrow { MI } $ = $ large frac { 1 } { 2 } $ ( $ overrightarrow { MA } $ + $ overrightarrow { MB } $ ) • Trọng tâm của tam giác : Điểm G là trọng tâm của USD Delta $ ABC khi và chỉ khi : USD overrightarrow { GA } USD + $ overrightarrow { GB } USD + $ overrightarrow { GC } $ = $ vec { 0 } $. • Trọng tâm của tứ diện : Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi : USD overrightarrow { GA } USD + $ overrightarrow { GB } USD + $ overrightarrow { GC } USD + $ overrightarrow { GD } $ = $ vec { 0 } $. • Các đặc thù của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số ít với một vectơ. Để thực thi phép đổi khác tương tự cho đẳng thức cần chứng tỏ. Và khi đó, ta lựa chọn một trong những hướng biến hóa sau : Hướng 1 : Biến đổi một vế thành vế còn lại ( VT ⇒ VP hoặc VP ⇒ VT ). Khi đó : • Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực thi việc đơn thuần biểu thức. • Nếu xuất phát từ vế đơn thuần ta cần thực thi việc nghiên cứu và phân tích vectơ. Hướng 2 : Biến đổi đẳng thức cần chứng tỏ về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. Hướng 3 : Biến đổi một đẳng thức vectơ đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng tỏ. Hướng 4 : Tạo dựng những hình phụ.
Ví dụ 1: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
USD overrightarrow { MA } $ + $ overrightarrow { MB } USD + $ overrightarrow { MC } USD + $ overrightarrow { MD } $ = 4 $ overrightarrow { MG } $, với mọi điểm M.
Giải
Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD, sử dụng quy tắc ba điểm bằng cách xen vào giữa, ta lần lượt có : USD overrightarrow { MA } $ = $ overrightarrow { MG } USD + $ overrightarrow { GA } $, USD overrightarrow { MB } $ = $ overrightarrow { MG } USD + $ overrightarrow { GB } $, USD overrightarrow { MC } $ = $ overrightarrow { MG } USD + $ overrightarrow { GC } $, USD overrightarrow { MD } $ = $ overrightarrow { MG } USD + $ overrightarrow { GD } $ suy ra : $ overrightarrow { MA } $ + $ overrightarrow { MB } USD + $ overrightarrow { MC } USD + $ overrightarrow { MD } $ = 4 $ overrightarrow { MG } $ + ( $ overrightarrow { GA } USD + $ overrightarrow { GB } USD + $ overrightarrow { GC } USD + $ overrightarrow { GD } $ ) = 4 $ overrightarrow { MG } $, đpcm.
Ví dụ 2: Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Gọi P, R theo thứ tự là trung điểm của AB, $A_{1}D_{1}$, gọi $P_{1}$, Q, $Q_{1}$, $R_{1}$ theo thứ tự là giao điểm của các đường chéo của các mặt ABCD, $CDD_{1}C_{1}$, $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, $ADD_{1}A_{1}$:
a. Chứng minh rằng $ overrightarrow { PP_ { 1 } } USD + $ overrightarrow { QQ_ { 1 } } USD + $ overrightarrow { RR_ { 1 } } $ = $ vec { 0 } $. b. Chứng minh hai tam giác PQR và USD P_ { 1 } Q_ { 1 } R_ { 1 } $ có trọng tâm trùng nhau.
Giải
a. Ta có : suy ra : b. Gọi G, USD G_ { 1 } $ theo thứ tự là trọng tâm những tam giác PQR và USD P_ { 1 } Q_ { 1 } R_ { 1 } $ ta có : suy ra :
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Trong không gian, cho hai tam giác ABC và $A_{1}B_{1}C_{1}$ theo thứ tự có các trọng tâm là G và $G_{1}$. Chứng minh rằng:
USD overrightarrow { AA_ { 1 } } USD + $ overrightarrow { BB_ { 1 } } USD + $ overrightarrow { CC_ { 1 } } $ = 3 $ overrightarrow { GG_ { 1 } } $
Bài 2. Cho tứ diện ABCD.
a. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng : USD overrightarrow { AB } USD + $ overrightarrow { CD } $ = $ overrightarrow { AD } USD + $ overrightarrow { CB } $ = 2 $ overrightarrow { IJ } $. b. Gọi E, F là hai điểm thoả mãn $ overrightarrow { EA } $ = t $ overrightarrow { EB } $, $ overrightarrow { FC } $ = t $ overrightarrow { FD } $, với t $ neq USD 0, 1. Chứng minh rằng : USD overrightarrow { AC } $ = t $ overrightarrow { BD } $ + ( 1 – t ) $ overrightarrow { EF } $.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi E là trọng tâm $Delta$BCD, I, $I_{1}$, J, $J_{1}$, K, $K_{1}$ theo thứ tự là trung điểm của AB, CD, CA, BD, AD, BC. Điểm G thoả mãn hệ thức:
USD overrightarrow { GA } USD + $ overrightarrow { GB } USD + $ overrightarrow { GC } USD + $ overrightarrow { GD } $ = $ vec { 0 } $. Chứng minh rằng : a. $ overrightarrow { II_ { 1 } } USD + $ overrightarrow { JJ_ { 1 } } USD + $ overrightarrow { KK_ { 1 } } USD = 2 $ overrightarrow { AG } $. b. $ overrightarrow { GA } USD + 3 $ overrightarrow { GE } $ = $ vec { 0 } $.
Bài 4. Cho hành hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, gọi I là giao điểm của $AC_{1}$ với mặt phẳng ($BDA_{1}$). Chứng minh rằng:
Bài 5. Cho tứ diện ABCD, lấy các điểm $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Giả sử tồn tại điểm O sao cho:
Chứng minh rằng :
Bài toán 2: Xét tính đồng phẳng, không đồng phẳng của ba vectơ.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Để chứng tỏ ba vectơ $ vec { a } $, $ vec { b } $, $ vec { c } $ đồng phẳng, ta đi chứng tỏ sống sót cặp số thực m, n, sao cho : USD vec { c } $ = m $ vec { a } $ + n $ vec { b } USD. ( 1 )
Chú ý: Trong trường hợp bài toán yêu cầu xác định điều kiện của tham số để ba vectơ $vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ đồng phẳng ta sẽ xuất phát từ điều kiện (1).
2. Để chứng tỏ ba vectơ $ vec { a } $, $ vec { b } $, $ vec { c } $ không đồng phẳng, ta đi chứng tỏ : m $ vec { a } $ + n $ vec { b } $ + p $ vec { c } $ = $ vec { 0 } $ ⇔ m = n = p = 0.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ $overrightarrow{BC}$, $overrightarrow{MN}$, $overrightarrow{AD}$ đồng phẳng.
Giải
Từ giả thiết, ta có : ⇒ BC, MN, AD nằm trên ba mặt phẳng song song ⇒ ba vectơ $ overrightarrow { BC } $, $ overrightarrow { MN } $, $ overrightarrow { AD } $ đồng phẳng.
Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC. Ba điểm M, N, P trong không gian thoả mãn:
a. Xác định t để ba vectơ $ overrightarrow { OM } $, $ overrightarrow { ON } $, $ overrightarrow { OP } $ đồng phẳng.
b. Cho t = 0, hãy biểu diễn vectơ $vec{v}$ = 5$overrightarrow{OA}$ + 10$overrightarrow{OB}$ – 15$overrightarrow{OC}$ theo ba vectơ $overrightarrow{OM}$, $overrightarrow{ON}$, $overrightarrow{OP}$.
Giải
a. Để $ overrightarrow { OM } $, $ overrightarrow { ON } $, $ overrightarrow { OP } $ đồng phẳng điều kiện kèm theo là sống sót cặp số thực $ alpha USD, $ beta USD, sao cho : b. Với t = 0, ta được : Giải hệ phương trình tạo bởi ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) theo những ẩn $ overrightarrow { OA } $, $ overrightarrow { OB } $, $ overrightarrow { OC } $, ta được :
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 6. Trong không gian, cho ba vectơ $vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ khác vectơ không.
a. Nếu $ vec { a } $ – 3 $ vec { b } $ – 4 $ vec { c } $ = $ vec { 0 } $ thì ba vectơ $ vec { a } $, $ vec { b } $, $ vec { c } $ có đồng phẳng không ? b. Giả sử ta có : USD alpha $ $ vec { a } USD + $ beta $ $ vec { b } USD + $ gamma $ $ vec { c } $ = $ vec { 0 } $ Với điều kiện kèm theo nào của $ alpha USD, $ beta USD, $ gamma USD để ba vectơ $ vec { a } $, $ vec { b } $, $ vec { c } $ • Đồng phẳng. • Không đồng phẳng.
Bài 7. Cho tứ diện OABC, đặt:
Xác định t để ba vectơ $ vec { a } $, $ vec { b } $, $ vec { c } $ đồng phẳng.
Bài 8. Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. O là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại bốn số $alpha$, $beta$, $gamma$, $eta$ sao cho:
Bài 9. Cho tứ diện OABC, gọi $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ là các điểm thuộc AB, BC, CD, DA sao cho:
a. Chứng minh rằng với điểm O bất kể trong khoảng trống ta luôn có : b. Xác định giá trị của t để bốn điểm USD A_ { 1 } $, USD B_ { 1 } $, USD C_ { 1 } $, USD D_ { 1 } $ đồng phẳng.
Bài toán 3: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai hướng : Hướng 1 : Từ giả thiết xác lập được đặc thù hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần trình diễn bằng giải pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Hướng 2 : Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ vectơ giữa những đối tượng người tiêu dùng, rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng chiêu thức xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc.
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC. Đáy ABC có trọng tâm G. Hãy phân tích vectơ $overrightarrow{SA}$ theo ba vectơ $overrightarrow{SB}$, $overrightarrow{SG}$, $overrightarrow{BC}$.
Giải
Ta có : USD overrightarrow { SA } $ = $ overrightarrow { SG } USD + $ overrightarrow { GA } $ USD overrightarrow { SB } $ = $ overrightarrow { SG } USD + $ overrightarrow { GB } $ USD overrightarrow { SC } $ = $ overrightarrow { SG } USD + $ overrightarrow { GC } $ suy ra :
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ là các điểm thoả mãn:
Đặt $ overrightarrow { AB } $ = $ vec { i } $, $ overrightarrow { AC } $ = $ vec { j } $, $ overrightarrow { AD } $ = $ vec { k } USD. Hãy trình diễn những vectơ $ overrightarrow { A_ { 1 } B_ { 1 } } $, $ overrightarrow { A_ { 1 } C_ { 1 } } $, $ overrightarrow { A_ { 1 } D_ { 1 } } $ theo ba vectơ $ vec { i } $, $ vec { j } $, $ vec { k } $.
Giải
Ta lần lượt có : Từ đó, ta lần lượt có :
Tổng quát hoá: Cho tứ diện ABCD. Gọi $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ là các điểm thoả mãn:
với t $ neq USD 0, 1. Đặt $ overrightarrow { AB } $ = $ vec { i } $, $ overrightarrow { AC } $ = $ vec { j } $, $ overrightarrow { AD } $ = $ vec { k } USD. Hãy trình diễn những vectơ $ overrightarrow { A_ { 1 } B_ { 1 } } $, $ overrightarrow { A_ { 1 } C_ { 1 } } $, $ overrightarrow { A_ { 1 } D_ { 1 } } $ theo ba vectơ $ vec { i } $, $ vec { j } $, $ vec { k } $. Bằng chiêu thức tựa như như đã trình diễn trong giải thuật trên, tất cả chúng ta sẽ nhận được hiệu quả :
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 10. Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm $Delta$ABC, đặt $overrightarrow{DA}$ = $vec{i}$, $overrightarrow{DB}$ = $vec{j}$, $overrightarrow{DC}$ = $vec{k}$. Hãy biểu diễn các vectơ $overrightarrow{GA}$, $overrightarrow{GB}$, $overrightarrow{GC}$ theo ba vectơ $vec{i}$, $vec{j}$, $vec{k}$.
Bài 11. Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có tâm O, gọi I là tâm của mặt $CDD_{1}C_{1}$. Hãy phân tích các vectơ $overrightarrow{AO}$, $overrightarrow{AI}$ theo ba vectơ $overrightarrow{AB}$, $overrightarrow{AD}$, $overrightarrow{AA_{1}}$
Bài 12. Cho tứ diện vuông OABC, vuông tại O và OA = OB = OC. Điểm M thoả mãn $mid overrightarrow{OM}mid$ = OA, nửa đường thẳng OM tạo với tia OC một góc bằng 45° và tạo với hai tia OA, OB thành hai góc nhọn bằng nhau. Hãy phân tích vectơ $overrightarrow{OM}$ theo ba vectơ $overrightarrow{OA}$, $overrightarrow{OB}$, $overrightarrow{OC}$.
Bài 13. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Đặt $overrightarrow{B_{1}A_{1}}$ = $vec{i}$, $overrightarrow{B_{1}B}$ = $vec{j}$, $overrightarrow{B_{1}C_{1}}$ = $vec{k}$. M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc $AC_{1}$, $CD_{1}$ và thoả mãn:
USD overrightarrow { MA } $ = $ alpha $ $ overrightarrow { MC_ { 1 } } $, $ overrightarrow { NC } $ = $ beta $ $ overrightarrow { ND_ { 1 } } $ a. Hãy màn biểu diễn những vectơ $ overrightarrow { B_ { 1 } M } $, $ overrightarrow { B_ { 1 } N } $ theo ba vectơ $ vec { i } $, $ vec { j } $, $ vec { k } $ và $ alpha USD, $ beta USD. b. Xác định $ alpha USD, $ beta USD để MN / / USD B_ { 1 } D $. c. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Bài 14. Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Chứng minh rằng hình hộp này là hình hộp chữ nhật khi và chỉ khi:
Bài toán 4: Xác định điểm M thoả một đẳng thức vectơ cho trước.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Ta đổi khác đẳng thức vectơ cho trước về dạng USD overrightarrow { OM } $ = $ vec { v } $, trong đó điểm O và vectơ $ vec { v } $ đã biết. 2. Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ $ vec { v } $, khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M.
Ví dụ 1: Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$.
a. Chứng minh rằng $ overrightarrow { AC_ { 1 } } USD + $ overrightarrow { A_ { 1 } C } USD = 2 $ overrightarrow { AC } $. b. Xác định vị trí của điểm O sao cho : c. Chứng minh rằng khi đó với mọi điểm M trong khoảng trống ta luôn có :
Giải
a. Ta có : b. Gọi O là giao điểm của USD AC_ { 1 } $ và USD A_ { 1 } C $, ta có ngay : c. Ta có :
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm G sao cho:
USD overrightarrow { GA } USD + $ overrightarrow { GB } USD + $ overrightarrow { GC } USD + $ overrightarrow { GD } $ = $ vec { 0 } $. Chứng tỏ rằng điểm G đó là duy nhất và khi đó G gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Bài 16. Cho hình chóp SABCD. Tìm điểm O sao cho:
USD overrightarrow { OA } USD + $ overrightarrow { OB } USD + $ overrightarrow { OC } USD + $ overrightarrow { OD } USD + $ overrightarrow { OS } $ = $ vec { 0 } $.
Bài 17. Trong không gian, cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, M là điểm di động.
a. Chứng minh rằng vectơ $ vec { v } USD = 2 $ overrightarrow { MA } $ + $ overrightarrow { MB } $ – 3 $ overrightarrow { MC } $ là một vectơ không phụ thuộc vào vào vị trí của điểm M. b. $ M_ { 0 } $ là điểm thoả mãn $ overrightarrow { AM_ { 0 } } $ = $ vec { v } $ và giả sử đường thẳng USD AM_ { 0 } $ cắt BC tại N. Chứng minh rằng $ overrightarrow { NB } $ = 3 $ overrightarrow { NC } $. c. Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp USD Delta $ ABC và vuông góc với $ vec { v } USD. Chứng tỏ rằng khi M chuyển dời trong mặt phẳng ( P ) thì tổng sau có giá trị không đổi :
Bài 18. Cho tứ diện ABCD. Gọi E là trọng tâm $Delta$BCD, I, $I_{1}$, J, $J_{1}$, K, $K_{1}$ theo thứ tự là trung điểm của AB, CD, CA, BD, AD, BC. Điểm G thoả mãn hệ thức:
USD overrightarrow { GA } USD + $ overrightarrow { GB } USD + $ overrightarrow { GC } USD + $ overrightarrow { GD } $ = $ vec { 0 } $. Chứng minh rằng : a .b. Ba điểm A, E, G thẳng hàng.
Bài toán 5: Tìm quỹ tích điểm M thoả mãn điều kiện K.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Với những bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng : 1. Nếu | $ overrightarrow { MA } $ | = | $ overrightarrow { MB } $ |, với A, B cho trước thì M thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB. 2. | $ overrightarrow { MC } $ | = k | $ overrightarrow { AB } $ |, với A, B, C cho trước thì M thuộc mặt cầu tâm C, nửa đường kính bằng k. AB. 3. Nếu $ overrightarrow { MA } $ = k $ overrightarrow { BC } $, với A, B, C cho trước thì : • Với k $ in $ R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC. • Với k $ in USD USD R ^ { + } USD điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng $ overrightarrow { BC } $. • Với k $ in USD USD R ^ { – } $ điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng $ overrightarrow { BC } $.
Ví dụ 1: Trong không gian, cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Giải
Gọi G là trọng tâm $ Delta $ ABC, ta đổi khác được ( 1 ) về dạng : ⇔ M thuộc mặt cầu tâm G, nửa đường kính GA.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD, hai điểm M, N thoả mãn:
Chứng tỏ rằng khi t đổi khác thì trung điểm I của MN vận động và di chuyển trên một đường thẳng cố định và thắt chặt.
Giải
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD, ta có : suy ra : Vậy, khi t đổi khác thì trung điểm I của MN chuyển dời trên đường thẳng EF
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 19. Cho ba tia Ax, By, Cz song song, cùng hướng và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N, P là ba điểm di động theo thứ tự trên các tia Ax, By, Cz sao cho $overrightarrow{AM}$ = $overrightarrow{BN}$ = $overrightarrow{CP}$.
a. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. b. Tìm tập hợp trọng tâm G của USD Delta $ MNP.
