Bài tập tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số có đáp án 

Phương pháp giải tổng quát bài tập tìm tiệm cận không chứa m

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số USD y = f left ( x right ) $ ta thực thi những bước sau :

▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số $y=fleft( x right)$

▪ Bước 2: Tìm giới hạn của $fleft( x right)$  khi x tiến đến biên của miền xác định.

▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận.

Đặc biệt : Để tìm những đường tiệm cận của đồ thị hàm số USD y = frac { f left ( x right ) } { g left ( x right ) } $ ta hoàn toàn có thể làm như sau :

– Bước 1: Tìm tập xác định D.

– Bước 2:

+ ) Tìm tiệm cận ngang : Ta tính những số lượng giới hạn : $ underset { x to + infty } { mathop { lim } } , y ; underset { x to – infty } { mathop { lim } } , y $ và Tóm lại tiệm cận ngang
+ ) Tìm tiệm cận đứng : Sử dụng phương pháp nhân phối hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn thuần biểu thức $ frac { f left ( x right ) } { g left ( x right ) } $ về dạng tối giản nhất hoàn toàn có thể từ đó Kết luận về tiệm cận đứng .

Chú ý:

– Nếu bậc của $fleft( x right)$ nhỏ hơn hoặc bằng bậc của $gleft( x right)$ thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

– Nếu bậc của $fleft( x right)$ lớn hơn bậc của thì $gleft( x right)$ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án

Bài tập 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau: a) $y=frac{2-x}{1-{{x}^{2}}},,left( C right).$    b) $y=frac{2{{x}^{2}}+5x+1}{{{x}^{2}}-5x+4},,left( C right).$

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ -1;1 right}$. Ta có: $underset{xto pm infty }{mathop{lim }},y=underset{xto pm infty }{mathop{lim }},frac{2-x}{1-{{x}^{2}}}=underset{xto pm infty }{mathop{lim }},frac{frac{2}{{{x}^{2}}}-frac{1}{{{x}^{2}}}}{frac{1}{{{x}^{2}}-1}}=0Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác $ underset { x to 1 } { mathop { lim } } , y = infty USD và $ underset { x to left ( – 1 right ) } { mathop { lim } } , y = infty USD nên USD x = 1 $ và USD x = – 1 $ là những đường tiệm cận của đồ thị hàm số .

b) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 1;4 right}$.

Ta có : $ underset { x to { { 1 } ^ { + } } } { mathop { lim } } , y = underset { x to { { 1 } ^ { + } } } { mathop { lim } } , frac { 2 { { x } ^ { 2 } } + 5 x + 1 } { left ( x-1 right ) left ( x-4 right ) } = – infty USD ( hoặc $ underset { x to { { 1 } ^ { – } } } { mathop { lim } } , y = underset { x to { { 1 } ^ { – } } } { mathop { lim } } , frac { 2 { { x } ^ { 2 } } + 5 x + 1 } { left ( x-1 right ) left ( x-4 right ) } = + infty USD ) nên đường thẳng USD x = 1 $ là tiệm cận đứng của ( C ) .
Tương tự đường thẳng USD x = 4 $ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho .
Lại có : $ underset { x to pm infty } { mathop { lim } } , y = underset { x to pm infty } { mathop { lim } } , frac { 2 { { x } ^ { 2 } } + 5 x + 1 } { { { x } ^ { 2 } } – 5 x + 4 } = underset { x to pm infty } { mathop { lim } } , frac { 2 + frac { 5 } { x } + frac { 1 } { { { x } ^ { 2 } } } } { 1 – frac { 5 } { x } + frac { 4 } { { { x } ^ { 2 } } } } = 2 USD nên đường thẳng USD y = 2 USD là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho .

Bài tập 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau a) $y=frac{sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}.$   b) $y=frac{{{x}^{2}}-4x+3}{sqrt{{{x}^{2}}+7}-4}.$

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=left[ -3;+infty  right)backslash left{ pm 1 right}.$

Ta có : $ underset { x to + infty } { mathop { lim } } , y = underset { x to + infty } { mathop { lim } } , frac { sqrt { x + 3 } – 2 x } { { { x } ^ { 2 } } – 1 } = 0 Rightarrow y = 0 $ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
Mặt khác $ underset { x to 1 } { mathop { lim } } , y = underset { x to 1 } { mathop { lim } } , frac { sqrt { x + 3 } – 2 x } { { { x } ^ { 2 } } – 1 } = underset { x to 1 } { mathop { lim } } , frac { frac { x + 3-4 { { x } ^ { 2 } } } { sqrt { x + 3 } + 2 x } } { left ( x-1 right ) left ( x + 1 right ) } = underset { x to 1 } { mathop { lim } } , frac { frac { left ( 1 – x right ) left ( 3 + 4 x right ) } { sqrt { x + 3 } + 2 x } } { left ( x-1 right ) left ( x + 1 right ) } $
USD = underset { x to 1 } { mathop { lim } } , – frac { 3 + 4 x } { left ( x + 1 right ) left ( sqrt { x + 3 } + 2 x right ) } = – frac { 7 } { 8 } Rightarrow x = 1 $ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
Ta có : $ underset { x to left ( – 1 right ) } { mathop { lim } } , y = underset { x to left ( – 1 right ) } { mathop { lim } } , frac { sqrt { x + 3 } – 2 x } { { { x } ^ { 2 } } – 1 } = infty Rightarrow x = – 1 $ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

b) TXĐ: $D=mathbb{R}.$ Ta có: $underset{xto pm infty }{mathop{lim }},y=underset{xto pm infty }{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-4x+3}{sqrt{{{x}^{2}}+7}-4}=+infty Rightarrow $ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Lại có : USD y = frac { left ( x-1 right ) left ( x-3 right ) } { frac { { { x } ^ { 2 } } + 7-16 } { sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 7 } + 4 } } = frac { left ( sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 7 } + 4 right ) left ( x-1 right ) left ( x-3 right ) } { left ( x-3 right ) left ( x + 3 right ) } = frac { left ( sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 7 } + 4 right ) left ( x-1 right ) } { x + 3 } $
Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là USD x = – 3. $

Bài tập 3: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có $underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=-infty $ và $underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=-infty $. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $y=0$ và $y=2.$ D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x=0$ và $x=2.$

Lời giải chi tiết

Ta có $ underset { x to { { 0 } ^ { + } } } { mathop { lim } } , f left ( x right ) = – infty Rightarrow $ đồ thị hàm số đã cho có TCĐ $ x = 0 USD

Lại có $underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=-infty Rightarrow $ đồ thị hàm số đã cho có TCĐ $x=2$. Chọn D.

Bài tập 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=frac{2x-1}{x+1}.$ A. $x=-1,,,y=frac{1}{2}.$ B. $x=-1,,,y=2.$ C. $x=1,,,y=-2.$ D. $x=frac{1}{2},,,y=-1.$

Lời giải chi tiết

TXĐ : USD D = mathbb { R } backslash left { – 1 right } $ .
Ta có : $ underset { x to left ( – 1 right ) } { mathop { lim } } , y = infty Rightarrow x = – 1 $ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Mặt khác $underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{2x-1}{x+1}=2Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.

Bài tập 5: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng $x=2$ và $y=1$ là các đường tiệm cận? A. $y=frac{2x+2}{x-1}.$ B. $y=frac{x-2}{x-1}.$ C. $y=frac{1}{{{x}^{2}}-x-2}.$              D. $y=frac{x+1}{x-2}.$

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số $y=frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bcne 0$ nhận $x=-frac{d}{c}$ là tiệm cận đứng và $y=frac{a}{c}$ là tiệm cận ngang. Chọn D.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=frac{2{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-2x-3}$. Khẳng định nào sau đây sai? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=frac{1}{2}$. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=2$. C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=-1;,,x=3.$

Lời giải chi tiết

TXĐ : USD D = mathbb { R } backslash left { – 1 ; 3 right }. $
Ta có $ underset { x to infty } { mathop { lim } } , y = underset { x to infty } { mathop { lim } } , frac { 2 { { x } ^ { 2 } } – 3 x + 2 } { { { x } ^ { 2 } } – 2 x – 3 } = underset { x to infty } { mathop { lim } } , frac { 2 – frac { 3 } { x } + frac { 2 } { { { x } ^ { 2 } } } } { 1 – frac { 2 } { x } – frac { 3 } { { { x } ^ { 2 } } } } = 2 Rightarrow y = 2 USD là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .

Lại có: $underset{xto left( -1 right)}{mathop{lim }},y=infty ,,,underset{xto left( 3 right)}{mathop{lim }},y=infty $ do đó $x=-1;,,x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.

Bài tập 7: Đồ thị nào sau đây không có tiệm cận ngang? A. $y=frac{{{x}^{2}}+1}{x-1}.$ B. $y=frac{x-1}{{{x}^{2}}+1}.$ C. $y=frac{x-1}{x+2}.$              D. $y=frac{1}{x+1}.$

Lời giải chi tiết

Ta có $underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}+1}{x-1}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{x+frac{1}{x}}{1-frac{1}{x}}=underset{xto infty }{mathop{lim }},x=infty Rightarrow $ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Chọn A.

Bài tập 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{{{x}^{2}}-3x-4}{{{x}^{2}}-16}$. A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Lời giải chi tiết

TXĐ : USD D = mathbb { R } backslash left { pm 4 right } USD. Khi đó : USD y = frac { { { x } ^ { 2 } } – 3 x + 4 } { { { x } ^ { 2 } } – 16 } = frac { left ( x + 1 right ) left ( x-4 right ) } { left ( x-4 right ) left ( x + 4 right ) } = frac { x + 1 } { x + 4 }. $

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x=-4.$ Chọn D.

Bài tập 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số $y=frac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{2}}-1}.$ A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Lời giải chi tiết

TXĐ : USD D = mathbb { R } backslash left { pm 1 right } USD. Khi đó USD y = frac { { { x } ^ { 2 } } – 5 x + 4 } { { { x } ^ { 2 } } – 1 } = frac { left ( x-4 right ) left ( x-1 right ) } { left ( x-1 right ) left ( x + 1 right ) } = frac { x-4 } { x + 1 } Rightarrow left { begin { align } và underset { x to infty } { mathop { lim } } , y = 1 và underset { x to left ( – 1 right ) } { mathop { lim } } , y = infty end { align } right. $

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$và tiệm cận ngang $y=1$. Chọn A.

Bài tập 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{sqrt{x+9}+3}{{{x}^{2}}+x}$ là: A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

Lời giải chi tiết

TXĐ : USD D = left [ – 9 ; + infty right ) backslash left { 0 ; – 1 right }. $ .
Khi đó : USD y = frac { sqrt { x + 9 } + 3 } { { { x } ^ { 2 } } + x } = frac { frac { x + 9-9 } { sqrt { x + 9 } + 3 } } { x left ( x + 1 right ) } = frac { 1 } { left ( x + 1 right ) left ( sqrt { x + 9 } + 3 right ) } $
Suy ra $ underset { x to left ( – 1 right ) } { mathop { lim } } , y = underset { x to left ( – 1 right ) } { mathop { lim } } , frac { 1 } { left ( x + 1 right ) left ( sqrt { x + 9 } + 3 right ) } Rightarrow $ Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là USD x = – 1. $

Chọn D.

Bài tập 11: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=frac{sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-x}{x-1}$. A. $y=2.$ B. $x=1.$ C. $y=-2$ và $y=0.$ D. $y=1.$

Lời giải chi tiết

Ta có $left{ begin{align}& underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-x}{x-1}=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{sqrt{1-frac{2}{x}+frac{3}{{{x}^{2}}}}-1}{1-frac{1}{x}}=0 \  & underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-x}{x-1}=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{-sqrt{1-frac{2}{x}+frac{3}{{{x}^{2}}}}-1}{1-frac{1}{x}}=-2 \end{align} right.Rightarrow $ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là   và  . Chọn C.

Bài tập 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? A. $y=frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x-1}.$ B. $y=frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}.$ C. $y=sqrt{{{x}^{2}}-1}.$              D. $y=frac{x}{x+1}.$

Lời giải chi tiết

Phân tích những đáp án :

Đáp án A. Ta có $y=frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x-1}=frac{left( x-1 right)left( x-2 right)}{x-1}=x-2$ nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Đáp án B. Phương trình ${{x}^{2}}+1=0$ vô nghiệm nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Đáp án C. Đồ thị hàm số $y=sqrt{{{x}^{2}}-1}$ không có tiệm cận đứng.

Đáp án D. Đồ thị hàm số $y=frac{x}{x+1}$ có tiệm cận đứng là $x=-1$.Chọn D.

Bài tập 13: Cho hàm số $y=frac{sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x-1}$. Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải chi tiết

Tập xác lập của hàm số là USD D = left ( – infty ; 2 right ] cup left [ 2 ; + infty right ). $
Ta thấy rằng USD x = 1 notin D Rightarrow $ đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng .

Và $underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x-1}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{left| x right|sqrt{1-frac{4}{{{x}^{2}}}}}{xleft( 1-frac{1}{x} right)}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{left| x right|}{x}Rightarrow left{ begin{align}& underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=1 \& underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=-1 \end{align} right.Rightarrow y=1,;,,y=-1Rightarrow $ đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang. Chọn C.

Bài tập 14: Đồ thị hàm số $y=frac{sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}{x}$ có bao nhiêu tiệm cận? A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Lời giải chi tiết

TXĐ : USD D = mathbb { R } backslash left { 0 right }. $
USD underset { x to infty } { mathop { lim } } , y = underset { x to infty } { mathop { lim } } , frac { sqrt { { { x } ^ { 2 } } + x + 1 } } { x } = underset { x to infty } { mathop { lim } } , frac { left | x right | sqrt { 1 + frac { 1 } { x } + frac { 1 } { { { x } ^ { 2 } } } } } { x } Rightarrow left { begin { align } và underset { x to – infty } { mathop { lim } } , y = – 1 và underset { x to + infty } { mathop { lim } } , y = 1 end { align } right. Rightarrow $ đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang .

Và $underset{xto 0}{mathop{lim }},y=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}{x}=infty Rightarrow x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.

Bài tập 15: Đồ thị hàm số $y=frac{x+4}{sqrt{{{x}^{2}}-4}}$ có bao nhiêu tiệm cận? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Lời giải chi tiết

TXĐ : USD D = mathbb { R } backslash left { pm 2 right }. $
Ta có : $ left { begin { align } và underset { x to + infty } { mathop { lim } } , y = underset { x to + infty } { mathop { lim } } , frac { x + 4 } { sqrt { { { x } ^ { 2 } } – 4 } } = 1 và underset { x to – infty } { mathop { lim } } , y = underset { x to – infty } { mathop { lim } } , frac { x + 4 } { sqrt { { { x } ^ { 2 } } – 4 } } = – 1 end { align } right. Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là USD y = pm 1 USD .
USD underset { x to pm 2 } { mathop { lim } } , y = infty Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là USD x = pm 2. $ .

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Chọn D.

Bài tập 16: Đồ thị hàm số $y=frac{sqrt{2-x}-1}{xleft( {{x}^{2}}-4x+3 right)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác lập : USD D = left ( – infty ; 2 right ] backslash left { 0 ; 1 right } $
Khi đó USD y = frac { sqrt { 2 – x } – 1 } { x left ( { { x } ^ { 2 } } – 4 x + 3 right ) } = frac { 1 – x } { x left ( x-1 right ) left ( x-3 right ) left ( sqrt { 2 – x } + 1 right ) } = – frac { 1 } { x left ( x-3 right ) left ( sqrt { 2 – x } + 1 right ) } $ .

Suy ra $xleft( x-3 right)left( sqrt{2-x}+1 right)=0Leftrightarrow x=0$. Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D.

Bài tập 17: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{2x-1-sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}$ . A. $x=-3;,,x=-2.$  B. $x=-3.$  C. $x=3;x=2.$  D. $x=3.$

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác lập USD D = mathbb { R } backslash left { 2 ; 3 right } $ .
Ta có : USD y = frac { { { left ( 2 x – 1 right ) } ^ { 2 } } – left ( { { x } ^ { 2 } } + x + 3 right ) } { { { x } ^ { 2 } } – 5 x + 6 } = frac { 3 { { x } ^ { 2 } } – 5 x – 2 } { left ( x-2 right ) left ( x-3 right ) left ( 2 x – 1 + sqrt { { { x } ^ { 2 } } + x + 3 } right ) } = frac { left ( 3 x + 1 right ) } { left ( x-3 right ) left ( 2 x – 1 + sqrt { { { x } ^ { 2 } } + x + 3 } right ) } $

Do vậy chỉ có đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn D.

Bài tập 18: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=frac{sqrt{{{x}^{2}}+3}-2}{{{x}^{2}}-1}$ . A. $x=pm 1,,,y=0.$  B. $x=pm 1,,,y=1.$  C. $y=0.$  D. $x=pm 1.$

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác lập USD D = mathbb { R } backslash left { pm 1 right } $ .
Ta có $ y = frac { sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 3 } – 2 } { { { x } ^ { 2 } } – 1 } = frac { left ( sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 3 } – 2 right ) left ( sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 3 } + 2 right ) } { left ( sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 3 } + 2 right ) left ( { { x } ^ { 2 } } – 1 right ) } = frac { { { x } ^ { 2 } } – 1 } { left ( sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 3 } + 2 right ) left ( { { x } ^ { 2 } } – 1 right ) } = frac { 1 } { sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 3 } + 2 }. $

Khi đó $underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{1}{sqrt{{{x}^{2}}+3}+2}=0Rightarrow $ Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang $y=0$ . Chọn C.

Bài tập 19: Số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị $y=frac{sqrt{4{{x}^{2}}-1}+3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}-x}$ là A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Lời giải chi tiết

Tập xác lập của hàm số là USD D = left ( – infty ; – frac { 1 } { 2 } right ) cup left ( frac { 1 } { 2 } ; + infty right ) backslash left { 1 right } $ .
Khi đó $ left { begin { align } và underset { x to + infty } { mathop { lim } } , y = underset { x to + infty } { mathop { lim } } , frac { sqrt { 4 { { x } ^ { 2 } } – 1 } + 3 { { x } ^ { 2 } } + 2 } { { { x } ^ { 2 } } – x } = 3 và underset { x to – infty } { mathop { lim } } , y = underset { x to – infty } { mathop { lim } } , frac { sqrt { 4 { { x } ^ { 2 } } – 1 } + 3 { { x } ^ { 2 } } + 2 } { { { x } ^ { 2 } } – x } = 3 end { align } right. Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang USD y = 3 $ .
Lại có : $ underset { x to 1 } { mathop { lim } } , y = infty Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng USD x = 1 USD .

Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Chọn A.

Bài tập 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{3x-1-sqrt{x+3}}{{{x}^{2}}+2x-3}$ A. $x=-3$.  B. $x=-1$ và $x=3$. C. $x=1$ và $x=-3.$  D. $x=3$

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác lập USD D = left ( – 3 ; + infty right ) backslash left { 1 right }. $
Khi đó USD y = frac { 3 x – 1 – sqrt { x + 3 } } { { { x } ^ { 2 } } + 2 x – 3 } = frac { { { left ( 3 x – 1 right ) } ^ { 2 } } – left ( x + 3 right ) } { left ( { { x } ^ { 2 } } + 2 x – 3 right ) left ( 3 x – 1 + sqrt { x + 3 } right ) } = frac { 9 { { x } ^ { 2 } } – 7 x – 2 } { left ( { { x } ^ { 2 } } + 2 x – 3 right ) left ( 3 x – 1 + sqrt { x + 3 } right ) } $
USD Leftrightarrow y = frac { 9 x + 2 } { left ( x + 3 right ) left ( 3 x – 1 + sqrt { x + 3 } right ) } $

Ta thấy $left( x+3 right)left( 3x-1+sqrt{x+3} right)=0Leftrightarrow x=-3Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-3$. Chọn A.

Bài tập 21: Cho hàm số $y=frac{sqrt{2x+3}-2x+3}{{{x}^{2}}-4x+3}$. Hãy chọn mệnh đề đúng. A. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=3$. B. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là $y=1$ và $y=3$ . C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$ . D. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là $x=1$ và $x=3$.

Lời giải

Ta có : USD D = left [ – frac { 3 } { 2 } ; + infty right ) backslash left { 1 ; 3 right } $ .
Khi đó USD y = frac { frac { 2 x + 3 – { { left ( 2 x – 3 right ) } ^ { 2 } } } { sqrt { 2 x + 3 } + 2 x – 3 } } { { { x } ^ { 2 } } – 4 x + 3 } = frac { left ( 1-2 x right ) left ( x-3 right ) } { left ( sqrt { 2 x + 3 } + 2 x – 3 right ) left ( x-1 right ) left ( x-3 right ) } $
USD = frac { 1-2 x } { left ( sqrt { 2 x + 3 } + 2 x – 3 right ) left ( x-1 right ) } USD. Suy ra $ underset { x to 1 } { mathop { lim } } , y = infty USD nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng USD x = 1 USD .
Lại có : $ underset { x to + infty } { mathop { lim } } , y = 0 USD nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là USD y = 0 USD .

Bài tập 22: Cho hàm số $y=frac{2x-3}{sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}}$. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận? A. 2                                    B. 3                                         C. 4                                    D. 5

Lời giải

Hàm số xác lập khi và chỉ khi $ { { x } ^ { 2 } } – 2 x – 3 > 0 Leftrightarrow left [ begin { array } { } x > 3 { } x $Rightarrow $ đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận. Chọn C.

Bài tập 23: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{x+1-sqrt{{{x}^{2}}+x+2}}{{{x}^{2}}+x-2}.$ A. $x=2.$                          B. $x=-2.$                              C. $x=-2$ và $x=-1.$        D. $x=2$ và $x=1.$

Lời giải

TXĐ : USD D = mathbb { R } backslash left { – 2 ; 1 right } USD. Khi đó : USD y = frac { x + 1 – sqrt { { { x } ^ { 2 } } + x + 2 } } { { { x } ^ { 2 } } + x + 2 } = frac { frac { { { left ( x + 1 right ) } ^ { 2 } } – left ( { { x } ^ { 2 } } + x + 2 right ) } { x + 1 + sqrt { { { x } ^ { 2 } } + x + 2 } } } { left ( x-1 right ) left ( x + 2 right ) } $
USD = frac { x-1 } { left ( x + 1 + sqrt { { { x } ^ { 2 } } + x + 2 } right ) left ( x-1 right ) left ( x + 2 right ) } = frac { 1 } { left ( x + 2 right ) left ( x + 1 + sqrt { { { x } ^ { 2 } } + x + 2 } right ) } $ và

Ta có: $underset{xto left( -2 right)}{mathop{lim }},y=infty Rightarrow x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn B.

Bài tập 24: Đồ thị hàm số $fleft( x right)=frac{3{{x}^{2}}-1-sqrt{{{x}^{4}}+x+2}}{{{x}^{2}}-3x+2}$ có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là A. Tiệm cận đứng $x=2,,,x=1$; tiệm cận ngang $y=2$. B. Tiệm cận đứng $x=2$; tiệm cận ngang $y=2$. C. Tiệm cận đứng $x=2,,,x=1$; tiệm cận ngang $y=2,y=3$. D. Tiệm cận đứng $x=2$; tiệm cận ngang $y=2,,,y=3$.

Lời giải

TXĐ : USD D = mathbb { R } backslash left { 1 ; 2 right } $ .
Ta có $ underset { x to infty } { mathop { lim } } , f left ( x right ) = underset { x to infty } { mathop { lim } } , frac { 3 { { x } ^ { 2 } } – 1 – sqrt { { { x } ^ { 4 } } + x + 2 } } { { { x } ^ { 2 } } – 3 x + 2 } = 2 Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang USD y = 2 USD .

Mặt khác $fleft( x right)=frac{3{{x}^{2}}-1-sqrt{{{x}^{4}}+x+2}}{{{x}^{2}}-3x+2}=frac{left( 3{{x}^{2}}-1-sqrt{{{x}^{4}}+x+2} right)left( 3{{x}^{2}}-1+sqrt{{{x}^{4}}+x+2} right)}{left( {{x}^{2}}-3x+2 right)left( 3{{x}^{2}}-1+sqrt{{{x}^{4}}+x+2} right)}$

USD Leftrightarrow f left ( x right ) = frac { 8 { { x } ^ { 4 } } – 7 x – 1 } { left ( { { x } ^ { 2 } } – 3 x + 2 right ) left ( 3 { { x } ^ { 2 } } – 1 + sqrt { { { x } ^ { 4 } } + x + 2 } right ) } = frac { left ( x-1 right ) left ( 8 { { x } ^ { 3 } } + 8 { { x } ^ { 2 } } + 8 x + 1 right ) } { left ( x-1 right ) left ( x-2 right ) left ( 3 { { x } ^ { 2 } } – 1 + sqrt { { { x } ^ { 4 } } + x + 2 } right ) } $
USD Leftrightarrow f left ( x right ) = frac { 8 { { x } ^ { 3 } } + 8 { { x } ^ { 2 } } + 8 x + 1 } { left ( x-2 right ) left ( 3 { { x } ^ { 2 } } – 1 + sqrt { { { x } ^ { 4 } } + x + 2 } right ) } $

Suy ra $underset{xto 2}{mathop{lim }},fleft( x right)=infty Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$. Chọn B.