A. Kiến thức là kiến thức
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax+b
Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax+b • Nếu $a=0$ thì bất phương trình có dạng $0x+b + $b với + $bge 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là $S. = bộ gọi .$
• Nếu $a>0$ thì $ax+b • Nếu $a-frac{b}{a}$ bộ giải pháp là $S=left(-frac{b}{a};+infty right).$
Các bất phương trình dạng $ax+b>0$, $ax+ble 0$, $ax+bge 0$ cũng được giải tương tự.
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số.
Để giải hệ bất phương trình bậc nhất ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình, khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm của từng bất phương trình.
B. Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải
Chuyên đề Toán 1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax + b
ví dụ 1. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) $mx+6 b) $left(x+m phải)m+x>3x+4.$
c) $left( {{m}^{2}}+9 phải)x+3ge mleft( 1-6x phải).$
d) $mleft( {{m}^{2}}x+2 phải)
a) Bất đẳng thức $left(m-2 right)x bằng $m=2$ bất đẳng thức trở thành $0xle 0$, do đó bất đẳng thức đúng với mọi $x$.
Với $m>2$ bất đẳng thức bằng $x
với $mfrac{3m-6}{m-2}=3.$
Phần kết luận:
Bất đẳng thức $m=2$ đúng với mọi $x$ (có tập nghiệm là $S=mathbb{R}$).
Bất phương trình $m>2$ có nghiệm $x $m3$ (trong đó $S=left(3;+infty right)$).
b) Bất đẳng thức bằng $left(m-2 right)x>4-{{m}^{2}}.$
Với $m=2$ bất đẳng thức trở thành $0x>0$ nên bất đẳng thức vô nghiệm.
Với $m>2$ bất đẳng thức bằng $x>frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
$m với kết quả:
Bất đẳng thức $m=2$ vô nghiệm.
Bất phương trình $m>2$ có nghiệm $x>-m-2.$
$mc) bằng bất đẳng thức ${{left(m+3 right)}^{2}}xge m-3.$
Đối với $m=-3$, bất đẳng thức trở thành $0xge -6$, trừ đi bất đẳng thức cho mọi $x.$.
Đối với $mne -3$ bất đẳng thức $xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}. $
Phần kết luận:
Bất đẳng thức $m=-3$ đúng với mọi $x.$
Bất phương trình $mne -3$ có nghiệm là $xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}.$
d) Bất đẳng thức $Leftrightarrow bằng ({{m}^{3}}-1 right)x0$.
Với $m=1$ thì bất đẳng thức bằng $0x và với $m>1$ thì bất đẳng thức bằng $x
$mfrac{m-1} với {{{m}^{2}}+m+1}.$
Phần kết luận:
Bất đẳng thức $m=1$ vô nghiệm.
Bất phương trình $m>1$ có nghiệm là $x
$mfrac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
ví dụ 2. Tìm $m$ để có bất đẳng thức $left( {{m}^{2}}-m right)x+m
Nếu ${{m}^{2}}-m-6ne 0$ $Leftrightarrow bắt đầu bằng {{ma trận} bên trái, thì bất đẳng thức bằng $left( {{m}^{2}}-m-6 right)x .
nhớ -2 \
mne 3 \
end{matrix} right.$ bất phương trình luôn có nghiệm.
Với $m=-2$ thì bất đẳng thức trở thành $0x và với $m=3$ thì bất đẳng thức trở thành $0x nên các giá trị cần tìm là $m=-2$ và $m=3.$
ví dụ 3. Tìm $m$ của bất đẳng thức $4{{m}^{2}}left(2x-1 right)$ $ge left(4{{m}^{2}}+5m+9 right)x-12m$ Đúng giải pháp $forall please mathbb{R}.$
Bất đẳng thức $left( 4{{m}^{2}}-5m-9 right)xge bằng 4{{m}^{2}}-12m.$
Dễ dàng thấy rằng nếu $4{{m}^{2}}-5m-9ne 0$ $Leftrightarrow ở bên trái{start{matrix}
nhớ -1 \
mne frac{9}{4} \
kết quả{matrix} là đúng.$ thì bất phương trình không thể có nghiệm thực $forall please mathbb{R}.$
Với $m=-1$ bất phương trình trở thành $0xge 16$, do đó bất phương trình vô nghiệm.
Đối với $m=frac{9}{4}$ bất đẳng thức trở thành $0xge -frac{27}{4}$ , trừ đi bất đẳng thức cho tất cả $x.$ .
Vậy giá trị cần tìm là $m=frac{9}{4}.$
Ví dụ 4. Tìm $m$ sao cho $left(4{{m}^{2}}+7m+1 right)x-5m$ có tập nghiệm là $ge trong $ge 3x-m-1$[-1;+infty ).$
Bất phương trình tương đương với $left( 4{{m}^{2}}+7m-2 right)xge 4m-1$ $Leftrightarrow left( m+2 right)left( 4m-1 right)xge 4m-1.$
+ Với $left( m+2 right)left( 4m-1 right)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
m=-2 \
m=frac{1}{2} \
end{matrix} right.$ thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$ do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m>frac{1}{4}$ $Rightarrow left( m+2 right)left( 4m-1 right)>0$ bất phương trình tương đương với $xge frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+infty )$ thì $frac{1}{m+2}=-1$ $Leftrightarrow m=-3$ (không thỏa mãn).
+ Với $-2
+ Với $m0$ bất phương trình tương đương với $xge frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+infty )$ thì $frac{1}{m+2}=-1$ $Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn).
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.
Dạng toán 2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 5. Giải các hệ bất phương trình sau:
a) $left{ begin{align}
& 5x-2>4x+5 \
& 5x-4
end{align} right.$
b) $left{ begin{align}
& 6x+frac{5}{7}
& frac{8x+3}{2}
end{align} right.$
c) $left{ begin{align}
& 5x-2
& {{x}^{2}}
end{align} right.$
d) $left{ begin{align}
& x-1le 2x-3 \
& 3x
& frac{5-3x}{2}le x-3 \
end{align} right.$
+5>
+2>
a) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{align}
& 5x-2>4x+5 \
& 5x-4
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& x>7 \
& x
end{align} right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{align}
& 6x+frac{5}{7}
& frac{8x+3}{2}
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& x
& x
end{align} right.$ $Leftrightarrow x
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $x
c) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x
{x > – 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow – 1
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $-1
d) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{align}
& xge 2 \
& x
& xge frac{11}{5} \
end{align} right.$ $Leftrightarrow frac{11}{5}le xle frac{5}{2}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $frac{11}{5}le xle frac{5}{2}.$
[ads]
Ví dụ 6. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a) $left{start{align}
&2x-1le x+2 \
& mleft(m+1 phải)x+4mge trái(m-2 phải)x+3{{m}^{2}}+6 \
end{align} right.$
b) $left{bắt đầu{ma trận}
mleft(mx-1 phải) mleft(mx-2 phải)ge 2m+1 \
kết quả {ma trận} đúng.$
+2>
a) Dãy bất phương trình tương đương với: $left{ start{matrix}
xle 3 \
Trái({{m}^{2}}+2 Phải)xge 3{{m}^{2}}-4m+6 \
end{matrix} right.$ $leftor left{start{matrix}
xle 3 \
xge frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2} \
kết quả {ma trận} đúng.$
Giả sử rằng nếu $frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2}le 3$ $Leftrightarrow mge thì hệ bất phương trình có nghiệm 0 . $
Vậy $mge 0$ là giá trị cần tìm.
b) Dãy bất phương trình tương đương với: $left{ start{matrix}
{{m}^{2}}x
{{m}^{2}}xge 4m+1 \
kết quả {ma trận} đúng.$
+ Có một hệ bất phương trình với $m=0$ trở thành $left{start{matrix}
0x 0xge 1 \
end{matrix} right.$ rút gọn hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ với $mne 0$ ta có hệ bất phương trình bằng $left{start{matrix}
X
xge frac{4m+1}{{{m}^{2}}} \
kết quả {ma trận} đúng.$
Nếu $frac{m+2}{{{m}^{2}}}>frac{4m+1}{{{m}^{2}}}$ thì hệ bất phương trình có nghiệm $leftrightor m
Vậy triệu đô la
Ví dụ 7. Tìm $m$ sao cho hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a) $left{start{align}
& {{trái(x-3 phải)}^{2}}ge {{x}^{2}}+7x+1 \
& 2ml 8+5x \
end{align} right.$
b) $left{bắt đầu{ma trận}
mx+1le x-1 \
kết quả 2trái(x-3 phải){ma trận} phải.$
a) Dãy bất phương trình tương đương với: $left{ start{align}
& xle frac{8}{13} \
& xge frac{2m-8}{5} \
end{align} right.$
Lấy hệ bất phương trình $Leftrightarrow frac{8}{13}
Vì vậy, $m>frac{72}{13}$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình bằng $left{ start{matrix}
left(m-1 right)xle -2 \
x>frac{14}{3} \
kết quả {ma trận} đúng.$
+ Với $m=1$ hệ bất phương trình trở thành $left{initial{matrix}
0xle -2 \
x>frac{14}{3} \
result{matrix} right.$ (tập hợp các bất phương trình vô nghiệm).
+ $left{ start{matrix} cho hệ bất phương trình $m>1$
xle frac{-2}{m-1} \
x>frac{14}{3} \
end{matrix} right.$ Một hệ bất phương trình $Leftrightarrow frac{-2}{m-1}le frac{14}{3}$ $Leftrightarrow -6le 14left(m-1 right)$ $Leftrightarrow mge frac{ 4} {7}.$
Vậy hệ bất phương trình vô nghiệm sau $m>1$.
+ $m xge với frac{-2}{m-1} \
x>frac{14}{3} \
end{matrix} right.$ (hệ bất phương trình luôn có nghiệm).
Vậy giá trị cần tìm là $mge 1.$
Ví dụ 8. Tìm $m$ cho hệ bất phương trình $left{start{align}
& 2mtrái (x+1 phải)ge x+3 \
& 4mx+3ge 4x \
end{align} right.$ có một giải pháp duy nhất.
Mảng bất phương trình tương đương với: $left{ start{matrix}
Trái (2m-1 Right)xge 3-2m \
trái (4m-4 phải)xge -3 \
kết quả {ma trận} đúng.$
Giả sử rằng hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất, $frac{3-2m}{2m-1}=frac{-3}{4m-4}$ $Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-26m+ 15 =0$ $Leftrightarrow m=frac{3}{4}$ hoặc $m=frac{5}{2}.$
+ $left{start{matrix} là hệ phương trình với $m=frac{3}{4}$
trái(khoe khoang{3}{2}-1 phải)xge 3-khoe{3}{2} \
-xge -3 \
end{matrix} right.$ $leftor left{start{matrix}
xge 3 \
xle 3 \
kết quả{ma trận} Đúng.$ $Mũi tên trái phải x=3.$
+ $left{start{matrix} là hệ phương trình với $m=frac{5}{2}$
4xge -2 \
6xge -3 \
kết quả{ma trận} Right.$ $Leftrightarrow xge -frac{1}{2}.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=frac{3}{4}.$
Dạng toán 3. Bất phương trình quy về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số.
Ví dụ 9. Giải và biện luận các bất phương trình $frac{mx-m+1}{x-1}>0.$
Mức độ phân giải: $xne 1.$
Phương trình thực tế tương đương với $left{initial{matrix}
x > 1 \
mx-m+1>0 \
end{matrix} right.$ $(3)$ hoặc $left{start{matrix}
x mx-m+1 end{ma trận} phải.$ $(4).$
+ Trường hợp 1: $m>0$ ta có $(3)$ $Leftrightarrow left{start{matrix}
x > 1 \
x>frac{m-1}{m} \
end{matrix} là phải.$ và $(4)$ là $left hoặc left{begin{matrix}
xx
kết quả {ma trận} đúng.$
Vì $frac{m-1}{m}0$, $left(3 right)$ $Leftrightarrow x>1$ và $left(4 right)$ $Leftrightarrow x
Giải bất phương trình: $xin left( -infty ;frac{m-1}{m} right)cup left( 1;+infty right).$
+ Trường hợp 2: $m=0$, bất đẳng thức: $frac{1}{x-1}>0$ $Leftrightarrow x-1>0$ $Leftrightarrow x>1.$
Nghiệm của bất đẳng thức là $xin left (1;+infty right).$
+ Trường hợp 3: $mx>1 \
X
end{matrix} là phải.$ và $(4)$ là $left hoặc left{begin{matrix}
xx>frac{m-1}{m} \
kết quả {ma trận} đúng.$
$frac{m-1}{m}>1$ cho mỗi $m
Nghiệm của bất đẳng thức là $xin left (1;frac{m-1}{m} right).$
Phần kết luận:
Tập nghiệm của bất đẳng thức $m>0$ là $S=left( -infty ;frac{m-1}{m} right)cup left(1;+infty right).$
Tập nghiệm của bất phương trình $m=0$ là $S=left(1;+infty right).$
triệu đô la
Ví dụ 10. Bất đẳng thức $sqrt{left( {{m}^{2}}-4 right)x-m+3}>2.$
a) Giải bất phương trình $m=1.$
b) Tìm $m$ sao cho bất đẳng thức đúng với mọi $x.$
a) $m=1$ trở thành bất đẳng thức $sqrt{-3x+2}>2$ khi không gian $Leftrightarrow {bắt đầu{ma trận}
-3x+2ge 0 \
-3x+2ge 4 \
kết quả{ma trận} Right.$ $Leftrightarrow xle -frac{2}{3}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $text{S}=(-infty ;-frac{2}{3}].$
b) Mức độ phân giải: $left( {{m}^{2}}-4 right)x-m+3ge 0.$
Giả sử bất đẳng thức đúng với mọi $x$ , $left( {{m}^{2}}-4 right)x-m+3ge 0$ đúng với mọi $x.$ .
Bắt ${{m}^{2}}-4=0$ $Leftrightarrow m=pm 2.$
Bất đẳng thức với $m=2$ là $sqrt{0.x-2+3}>2$ (không có nghiệm).
Với $m=-2$ ta có bất đẳng thức $sqrt{0.x+2+3}>2$ (đúng với mọi x$ ).
Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 11. Bất đẳng thức $sqrt{x-1}(x-2m+2)ge 0.$
a) Giải bất phương trình $m=2.$
b) Tìm $m$ từ mỗi $xin[ 2;3 right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
a) Khi bất đẳng thức $m=2$ trở thành $sqrt{x-1}(x-2)ge 0.$
$ là một bất đẳng thức bằng bên trái[ begin{matrix}
sqrt{x-1}=0 \
left{ begin{align}
& x-1ge 0 \
& x-2ge 0 \
end{align} right. \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
left{ begin{matrix}
xge 1 \
xge 2 \
end{matrix} right. \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
xge 2 \
end{matrix} right.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $text{S}=left{ 1 right}cup [2;+infty ).$
b) Bất phương trình tương đương với $left[ begin{matrix}
sqrt{x-1}=0 \
left{ begin{align}
& x-1ge 0 \
& x-2m+2ge 0 \
end{align} right. \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
left{ begin{align}
& xge 1 \
& xge 2m-2 \
end{align} right. \
end{matrix} right.$
+ Trường hợp 1: $2m-2>1$ $Leftrightarrow m>frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
xge 2m-2 \
end{matrix} right.$
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là $S=left{ 1 right}cup [2m-2;+infty ).$
Do đó mọi $xin left[ 2;3 right]$ Cả hai nghiệm của bất phương trình đã cho là $Leftrightarrow left[ 2;3 right]Phân nhóm S$ $Mũi tên trái phải 2m-2le 2$ $Mũi tên trái phải mle 2.$
Nhận $frac{3}{2}
+ Trường hợp 2: $2m-2=1$ $Leftrightarrow m=frac{3}{2}$: ta có bất đẳng thức $Leftrightarrow[begin{matrix}[begin{matrix}[தொடங்கு{matrix}[begin{matrix}
x=1 \
xge 1 \
kết quả{ma trận}trái hoặc xge 1 phải. .$
Giả sử rằng $m=frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
+ Trường hợp 3: $2m-2 x=1 \
xge 1 \
kết quả{ma trận}trái hoặc xge 1 phải. .$
Nhận được triệu đô la
Vậy giá trị cần tìm là $mle 2.$
+{{m}^{2}}+1.$
