Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện

A. Phương pháp giải

Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 ( với p là một số thực )

B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

B2 – Áp dụng định lý Vi – ét tìm :

B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình:

B4 – Thay x1 và x2 vào ( 2 ) ⇒ Tìm giá trị tham số .
2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo : | x1 – x2 | = k ( k ∈ R )
– Bình phương trình hai vế : ( x1 – x2 ) 2 = k2 ⇔ … ⇔ ( x1 + x2 ) 2 – 4×1 x2 = k2
– Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ Kết luận .
3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số ít bất kể :
B1 : Tìm điều kiện kèm theo để phương trình có nghiệm ( ∆ ≥ 0 )
B2 : Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 ( * )
+ / Với bài toán : Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

Ta có: . Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+ / Với bài toán : Tìm m để phương trình có hai nghiệm Ta có:   (*).Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+ / Với bài toán : Tìm m để phương trình có hai nghiệm : x1 Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – (2m – 1)x + m2 – 1 = 0 (x là ẩn số)

a ) Tìm điều kiện kèm theo của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
b ) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho thỏa mãn nhu cầu ( x1 – x2 ) 2 = x1 – 3×2

Giải

a ) Δ = ( 2 m – 1 ) 2 – 4. ( mét vuông – 1 ) = 4 mét vuông – 4 m + 1 – 4 mét vuông + 4 = 5 – 4 m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 – 4m > 0 ⇔ m

b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤

Kết hợp với điều kiện  (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy với m = 1 hoặc m = – 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn nhu cầu ( x1 – x2 ) 2 = x1 – 3×2 .

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 (m là tham số)

a ) Giải phương trình đã cho với m = 1 .
b ) Tìm những giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện kèm theo x1 – 9×2 = 0 .

Giải

a ) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x2 – 10 x + 9 = 0 .

Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

b ) Δ ‘ = ( – 5 m ) 2 – 1.9 m = 25 mét vuông – 9 m
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ ‘ > 0 ⇔ 25 mét vuông – 9 m > 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Từ ( * ) và giả thiết ta có hệ phương trình :

Thay vào phương trình ( * * ) ta có :

Với m = 0 ta có Δ ‘ = 25 mét vuông – 9 m = 0 không thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Với m = 1 ta có Δ ‘ = 25 mét vuông – 9 m = 16 > 0 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo để phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Kết luận : Vậy với m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện kèm theo x1-9×2 = 0

Ví dụ 3: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số).

a ) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b ) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn nhu cầu x1 Giải

a ) Ta có : Δ = [ – 2 ( m – 1 ) ] 2 – 4.1. ( 2 m – 5 ) = 4 mét vuông – 12 m + 22
= ( 2 m ) 2 – 2.2 m. 3 + 9 + 13 = ( 2 m – 3 ) 2 + 13 > 0 ( luôn đúng với mọi m )
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có: x1 ⇒(x1 – 1)(x2 – 1)

Thay ( I ) vào ( II ) ta có : ( 2 m – 5 ) – ( 2 m – 2 ) + 1 B. Bài tập

Câu 1: Cho phương trình x2 – (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

A. m = 0
B. m = 1
C. m = 3
D. m = 4

Giải

Phương trình x2 – ( 2 m + 2 ) x + 2 m = 0 ⇔ x2 – 2 ( m + 1 ) x + 2 m = 0
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1, x2 là

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm .

Đáp án đúng là A

Câu 2: Cho phương trình x2 + 2x – m2 – 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu x1 = – 3×2
A. m = 3
B. m = ± 1
C. m = ± √ 2
D. m = – 2

Giải

Ta có : Δ ‘ = 12 – 1. ( – mét vuông – 1 ) = 1 + mét vuông + 1 = mét vuông + 2 > 0 ( luôn đúng với mọi m )
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

Theo Vi-ét ta có:

Ta có : x1 + x2 = – 2 ( do trên ) và x1 = – 3×2 nên có hệ phương trình sau :

Thay ( * ) vào biểu thức x1. x2 = – mét vuông – 1 ta được :

Vậy m = ± √ 2 là những giá trị cần tìm .

Đáp án đúng là C

Câu 3: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (m là tham số)

Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện . Tính tích của các giá trị đó

Giải

Δ ‘ = ( m + 1 ) 2 – ( mét vuông + m – 1 ) = mét vuông + 2 m + 1 – mét vuông – m + 1 = m + 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ ‘ > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > – 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó :

Kết hợp với điều kiện m > -2  là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 4: Cho phương trình (m là tham số). 
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn

Giải

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0

Phương trình có nghiệm khác 0

Kết hợp với điều kiện  ta có

Vậy  là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là B

Câu 5: Cho phương trình   (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 .
A. m = ± 2
B. m = ± √ 2
C. m = – 1
D. m = 0

Giải

Ta có: , luôn đúng với mọi m

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2 .

Áp dụng Vi-et ta có:

Theo đề bài x1, x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có :

Vậy m = ± 2 là những giá trị cần tìm .

Đáp án đúng là A

Câu 6: Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 với x là ẩn số.

Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x12 = 4×22 .
A. m = ± 2
B. m = ± 1
C. m = – 6
D. m = 3

Giải

Ta có : Δ ‘ = ( – 1 ) 2 – ( – 2 mét vuông ) = 1 + 2 mét vuông > 0
Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi-ét :

Vậy m = ± 2 là giá trị cần tìm .

Đáp án đúng là A

Câu 7: Cho phương trình x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn nhu cầu | x1 – x2 | = 3 .
A. m = 2
B. m = 4
C. m = 6
D. m = 8

Giải

Ta có : ∆ = 25 – 4 m

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì

Theo Vi-ét, ta có : x1 + x2 = 5 ( 1 ) và x1. x2 = m ( 3 )
Mặt khác theo giả thiết ta có : | x1 – x2 | = 3 ( 2 )
Giải hệ ( 1 ) và ( 2 ) :

Với x1 = 4, x2 = 1 thay vào ( 3 ) ta được m = 4
Với x1 = 1, x2 = 4 thay vào ( 3 ) ta được m = 4
m = 4 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ( * ), vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Đáp án đúng là B

Câu 8: Cho phương trình bậc hai x2 + 2(m – 1)x – (m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1 .

Giải

Ta có:

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m .

Theo hệ thức Vi- ét ta có:

Để phương trình có một nghiệm lớn hơn, một nghiệm nhỏ hơn 1 thì ( x1 – 1 ) ( x2 – 1 )

Đáp án đúng là C

Câu 9: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2
A. m > – 1
B. m > 2
C. m Giải

Ta có:

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m .

Theo hệ thức Vi- ét ta có:

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì :

Vậy đáp án đúng là D

Câu 10: Cho phương trình x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu – 3 1
B. – 2 Giải

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Vì – 3

Vậy – 4 Đáp án đúng là C

Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 9 tinh lọc, có đáp án hay khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp