Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
– Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng song song $ left (alpha right ) USD là khoảng cách từ đường thẳng M đến mặt phẳng $ left (alpha right ) USD.
USD d left ( a ; left ( alpha right ) right ) = d left ( M ; left ( alpha right ) right ) = MH left ( left ( alpha right ) right tính bằng M ) USD.
– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng kia.
$dleft(left(alpha right);left(beta right)=dleft(a;left(beta right) right)=dleft(A;left(beta right) right)=AHleft(alpha right) a right) $
Bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng song song và mặt phẳng có đáp án
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $left(MNP right)$ và $left(SBC right)$. |
Miêu tả cụ thể
$ trái { bắt đầu { mảng } { } MP // BC { } MN // SB kết thúc { mảng } làm đúng. Trái phải ( MNP Right ) Baht trái ( SBC Right ) USD
$ SH pot BC bên trái (BC bên phải H) kiếm USD. khác $ trái ( SBC phải ) bot trái ( ABC phải ) USD
Vì vậy $ SH bot trái ( ABC phải ) USD
Gọi M là trung điểm của BC $ Rightarrow AM bot BC $
Call USD K = AE cap MP Rightarrow KE bot BC $
Nếu không $ KE bot SH Rightarrow KE bot ( SBC ) USD
USD d trái (trái (MNP phải); trái (SBC phải) phải) = d trái (K; trái (SBC phải) phải) = KE = frac{AE}{2} = frac{a sqrt{3}} { 4 } $
| Bài tập 2: S.ABC là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng $asqrt{5}$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng $left(SAB right)$. |
Miêu tả cụ thể
Gọi O là tâm của USD bên dưới ABCD $ Rightarrow SO Pod Left ( ABCD Right ).
Ta có: USD OA = frac { AC } { 2 } = a sqrt { 2 } $ $ Rightarrow SO = sqrt { S { { A } ^ { 2 } } – O { { A } ^ { 2 } } } } = Một hình vuông {3 } $
khác USD d Trái ( CD ; Trái ( SAB Phải ) Phải ) = d Trái ( D ; Trái ( SAB Phải ) Phải ) USD
Ta có: $ frac{d left(D; left(SAB right) right)} {d left(O; left(SAB right) right)} = frac{DB}{OB} = 2 USD
Dựng $OE bot AB, text {OF } bot text {SE } $ ta có: USD OE = frac {AD } { 2 } = a $
Khi đó: USD d left ( D ; left ( SAB right ) right ) = 2OF = 2. frac { SO.OE } { square { S { { O } ^ { 2 } } + O { { E } ^ { 2 } } } } = hình vuông { 3 } $
| Bài tập 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có các cạnh và đáy bằng a. Hình chiếu đứng của A’ trên $left(ABC right)$ trùng với trung điểm của BC. a) Tính khoảng cách từ AA’ đến các cạnh $ left (BCC’B’ right) USD b) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. |
Miêu tả cụ thể
a) Gọi H là trung điểm của BC: $A’H bot BC$
$ DELTA TEXT { ABC } $ thông thường $ AH BOT VÌ BC RITARO BC BOT LEFT (A’HA RIGHT) USD
$ tạo văn bản bot HK { A } A ‘ $ then $ left { { array } { } HK bot BB ‘ { } KH bot BC end { array } right. Phải KH Baht Trái ( BCC’B ‘ Phải ) USD
Vậy USD d left(AA’; left (BCC’B’ right) = d left (K; left (BCC’B’ right) right) = KH $
Nhắc lại: USD AH = frac { a sqrt { 3 } } { 2 } text {, AA } ‘ = a Rightarrow A’H = sqrt { A ‘ { { A } ^ { 2 } } – A { { H } ^ { 2 } } } = frac { a } { 2 } $
đoán $HK = frac {text {AA} ! ! ‘ ! ! văn bản { } văn bản {. AH } } { văn bản { AA } ! ! ‘ ! ! văn bản { } } = frac { hình vuông { 3 } } { 4 } $
Vậy USD d left(AA’; left (BCC’B’ right) right) = frac {a square {3 }} {4 } $.
b) Ta có: USD d Left(Left(ABC Right); Left(A’B’ C’ Right) Right) = d Left(A’; Left(ABC Right) Right) = A’H = frac{a} { 2 } $
| Bài tập 4: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $left(MNP right)$ và $left(ACC’right)$. |
Miêu tả cụ thể
Ta có: USD MN / / AC, NP / / AA ‘ Trái phải ( MNP Phải ) / / Trái ( ACC’A ‘ Phải ) USD
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và gọi $I=DOcap MN$
Ta có: $ left { begin { array } { } IO bot AC { } IO bot AA ‘ end { array } right. Phải IO Pad Trái ( ACC’A ‘ Phải ) USD
Vậy USD d Left(Left(MNP Right); Left(ACC’A’ Right) Right) = d Left(I; Left(ACC’A’ Right) Right) = IO $
Nhắc lại: USD IO = frac { OD } { 2 } = frac { BD } { 4 } = frac { a sqrt { 2 } } { 4 } $
