Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng hình Oxyz

Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng được tính như thế nào? Công thức tính nhanh như thế nào? Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các em cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian theo cách nhanh nhất.

Nội dung chính

• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng hình Oxyz
• 1. Định nghĩa mặt phẳng và đường thằng song song
• 2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
• Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay
• Công thức tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
• Các dạng bài tập yêu cầu tính khoảng cách
• Tính khoảng cách giữa 2 điểm
• Tính khoảng cách từ một điểm hoặc một đường thẳng đến một đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm, đường thẳng đến một mặt phẳng
• Tính khoảng cách trong không gian khi có thời gian và vận tốc trung bình của một vật
• Video liên quan

1. Định nghĩa mặt phẳng và đường thằng song song

Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.

Định lí 1:

Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng ( P ) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên ( P ) thì d song song với ( P ) .

Định lí 2:

( Định lí giao tuyến 2 ). Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt ( P ) thì cắt theo giao tuyến song song với d .

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3:

Nếu a b là hai đường thẳng chéo nhau thì có một và chỉ một mặt phẳng chứa a và song song với b .

Định lí 4:

Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau và O là một điểm không nằm trên cả hai đường thẳng a và b thì có một và chỉ một mặt phẳng đi qua O và song song với cả hai đường thẳng a, b.

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay

Trang trước Trang sau

Quảng cáo

Cho đường thẳng d / / ( P ) ; để tính khoảng cách giữa d và ( P ) ta thực thi các bước :
+ Bước 1 : Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến ( P ) hoàn toàn có thể được xác lập dễ nhất .
+ Bước 2 : Kết luận : d ( d ; ( P ) ) = d ( A ; ( P ) ) .

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD)

Hướng dẫn giải

Chọn C
Ta có : I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng CD và (SAB).

Hướng dẫn giải

Chọn A
Vì DC / / AB nên DC / / ( SAB )
⇒ d ( DC ; ( SAB ) ) = d ( D ; ( SAB ) )
Kẻ DH ⊥ SA
Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ ( SAD )
⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA
⇒ DH ⊥ ( SAB )
Nên d ( CD ; ( SAB ) ) = DH .
Trong tam giác vuông SAD ta có :
Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn D
Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên
MN / / AB
⇒ MN / / ( ABC )
Khi đó, ta có :
( vì M là trung điểm của OA ) .

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD ; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó ; IM / / AD / / BC
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông vắn nên SO ⊥ ( ABCD ) .
+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2 a
Chọn đáp án D

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và (SOE) là

Hiển thị lời giải
+ Vì hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .
mà ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA
⇒ SA ⊥ ( ABCD ) .
+ Do E là trung điểm của AD khi đó
Tam giác ABD có EO là đường trung bình
⇒ EO / / AB ⇒ AB / / ( SOE )
⇒ d ( AB, ( SOE ) ) = d ( A ; ( SOE ) ) = AH
với H là hình chiếu của A lên SE.
Quảng cáo

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa AA’ và (BB’D’) bằng:

Hiển thị lời giải
Chọn B
Ta có : AA ’ / / BB ’ mà BB ’ ⊂ ( BDD’B ’ )
⇒ AA ’ / / ( BDD’B ’ )
⇒ d ( AA ’ ; ( BD’B ’ ) ) = d ( A ; ( BDD’B ’ )
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ AO ⊥ ( BDD’B ’ ) ( đặc thù hình lập phương )

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa (SDA) và BC?

Hiển thị lời giải
+ Ta có : BC / / AD nên BC / / ( SAD )
⇒ d ( BC ; ( SAD ) ) = d ( B ; SAD ) )
+ Ta chứng tỏ BA ⊥ ( SAD ) :
Do BA ⊥ AD ( vì ABCD là hình chữ nhật )
Và BA ⊥ SA ( vì SA ⊥ ( ABCD ) )
⇒ BA ⊥ ( SAD )
⇒ d ( B ; ( SAD ) ) = BA
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có :
AB2 = AC2 – BC2 = 5 a2 – 2 a2 = 3 a2
⇒ AB = √ 3 a
⇒ d ( CB ; ( SAD ) ) = AB = √ 3 a
Đáp án D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a; BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và (SBK) là:

Hiển thị lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD ; I là trung điểm cạnh BC
+ Do SA = SB = SC = SD và OA = OB = OC = OD nên SO ⊥ ( ABCD )
+ Ta chứng tỏ BC ⊥ ( SOI )
– Tam giác SBC cân tại S có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : BC ⊥ SI ( 1 ) .
– Lại có : BC ⊥ SO ( vì SO ⊥ ( ABCD ) ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : BC ⊥ ( SOI )
Mà OH ⊂ ( SOI ) nên BC ⊥ OH

⇒ OH ⊥ ( SBC )
Do EF / / BK nên EF / / ( SBK )
⇒ d ( EF ; ( SBK ) ) = d ( O ; ( SBK ) ) = OH
Chọn đáp án D .

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và (SMN) bằng bao nhiêu?

Hiển thị lời giải
+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN / / BC
⇒ BC / / ( SMN ) nên :
d ( BC ; ( SMN ) ) = d ( B ; ( SMN ) ) = d ( A ; ( SMN ) )
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM .
+ Ta chứng tỏ : MN ⊥ ( SAM ) :
Chọn đáp án A

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và (SBC) là:

Hiển thị lời giải
+ Do AD / / BC nên AD / / ( SBC )
⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( H ; ( SBC ) )
trong đó H là trung điểm AD .
+ Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM
⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HK .
+ Diện tích tam giác SMH là :
Chọn đáp án C

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√17/2. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường HK và (SBD) theo a

Hiển thị lời giải
+ Ta có : H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD
⇒ HK / / BD ⇒ HK / / ( SBD )
⇒ d ( HK ; ( SBD ) ) = d ( H, ( SBD ) )
Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI
Chọn đáp án C

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠ABC = 60° Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và (SAB) theo a bằng:

Hiển thị lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Kẻ : OI ⊥ AB ; OH ⊥ SI
+ Do CD / / AB nên CD / / ( SAB )
⇒ d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) = 2 d ( O ; ( SAB ) )
Ta có : AB ⊥ SO, AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ ( SOI ) ⇒ AB ⊥ OH
Nên OH ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OH
Mà tam giác Ngân Hàng Á Châu cân tại B có ∠ ABC = 60 ° nên tam giác ABC đều
⇒ OC = ( 50% ) AC = ( 50% ) AB = a / 2 .
+ xét tam giác OAB có :
Chọn đáp án B

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và (SCD) bằng

Hiển thị lời giải
+ Gọi I là trung điểm của CD. Ta có :
⇒ ( ( SCD ), ( ABCD ) ) = ( OI, SI ) = 60 °
+ Ta có : AB / / CD nên AB / / ( SCD )
⇒ d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2. d ( O, ( SCD ) )
+ Trong mp ( SOI ), gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SI
+ Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên
Do đó : d ( AB ; ( SCD ) ) = 2 d ( O ; ( SCD ) ) = 2. OH = 2.1 = 2
Chọn B

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

Công thức tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

Vì đường thẳng Δ / / ( P ) nên khoảng cách từ 1 điểm bất kể tới ( P ) chính là khoảng cách từ Δ tới ( P ) .Giả thiết rằng điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng ( P ) có phương trình ax + by + cz + d = 0. Khi này, khoảng cách từ Δ tới ( P ) được vận dụng theo công thức :USD d left ( { Delta, left ( P right ) } right ) = d left ( { M, left ( P right ) } right ) = frac { { left | { a { x_0 } + b { y_0 } + c { z_0 } } right | } } { { sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } } } } $Một công thức khá đơn thuần đúng không nào ? Giờ tất cả chúng ta vào phần bài tập minh họa để vận dụng nhé

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

admin-02 / 06/2021 354

Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng được tính như thế nào? Công thức tính nhanh như thế nào? Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các em cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian theo cách nhanh nhất.

Bạn đang xem: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Các dạng bài tập yêu cầu tính khoảng cách

Một số loại bài tập toán học sẽ yêu cầu người làm tính khoảng cách có thể kể đến bao gồm:

• Bài tập tính khoảng cách giữa hai điểm
• Bài tập tính khoảng cách từ một điểm, đường thẳng đến một đường thẳng
• Bài tập tính khoảng cách từ một điểm, đường thẳng đến một mặt phẳng
• Bài tập tính khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng
• Bài tập tính khoảng cách trong không gian khi có thời gian và vận tốc trung bình của một vật

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về cách tính khoảng cách của từng loại bài tập. Bài viết sẽ không đề cập đến lĩnh vực hình học không gian Oxyz.

Tính khoảng cách giữa 2 điểm

Khoảng cách giữa hai điểm chính là độ dài đoạn nối giữa hai điểm đó. Cách tính khoảng cách giữa 2 điểm là rất nhiều, tùy thuộc vào dạng bài tập và loại bài tập hình học mà người làm đang phải thực hiện.

Tính khoảng cách từ một điểm hoặc một đường thẳng đến một đường thẳng

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách từ điểm đó tới hình vuông góc của nó lên mặt phẳng. Ta phải xác định được hình chiếu của điểm đó lên đường thẳng. Ví dụ, cho điểm M và đường thẳng d; hình chiếu của M lên d gọi là M’ => khoảng cách giữa M và d là MM’.

Với dạng bài tập này, người làm sẽ phải xác lập được đoạn thẳng là khoảng cách giữa điểm và đường thẳng. Sau đó, vận dụng các công thức toán học đã được học từ trước ( như định lý Pitago ) để tính được khoảng cách .

2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một đường thẳng được xét đến trong các bài toán không gian. Hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.

• Nếu trùng nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng là 0.
• Nếu cắt nhau, hai đường thẳng không có khoảng cách.
• Nếu song song nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng là đoạn vuông góc giữa hai đường thẳng đó.
• Nếu chéo nhau, khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Chỉ có duy nhất một đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chung. Phổ biến nhất là các bài tập tính độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hoàn toàn có thể có nhiều chiêu thức :
+ Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ( d1 và d2 ), khi đó độ dài đoạn chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng .

• Trường hợp d1 và d2 vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau (nếu xét trên một mặt phẳng):

( 1 ) Chọn mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 tại M
( 2 ) trong mặt phẳng đó kẻ MN vuông góc với d2 tại N => khi đó MN là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng => độ dài đoạn MN chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng .

• Trường hợp d1 và d2 chéo nhau mà không vuông góc với nhau

( 1 ) chọn mặt phẳng chứa d1 và song song với d2
( 2 ) dựng d2 ′ là hình chiếu vuông góc của d2 xuống mặt phẳng : lấy điểm M thuộc mặt phẳng, dựng đoạn MN ⊥ mặt phẳng => d2 ′ là đường thẳng đi qua N và song song với d2 .
( 3 ) H thuộc d2 ′ và mặt phẳng ; dựng HK / / MN. Khi đó HK là đoạn vuôn góc chung và khoảng cách giữa d1 và d2 = HK = MN

Tính khoảng cách từ một điểm, đường thẳng đến một mặt phẳng

1. Với bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, người làm phải xác định được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng. Đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng chính là khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng đó. Ví dụ một bài tập đơn giản sau:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD .
SA ⊥ ( ABC ) => BC ⊥ SA ; BC ⊥ AD ( như đã tự dựng trước đó ) => BC ⊥ ( SAD ) => AH ⊥ BC ; AH ⊥ SD ( như đã dựng trước đó ) => AH ⊥ ( SBC ) => AD là khoảng cách giữa A và ( SBC ) .

2. Nếu bạn nắm được cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và và đường thẳng, thì việc tính khoảng cách giữa đường thẳng với mặt phẳng không phải là việc quá khó khăn nữa. Bởi bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng hoàn toàn có thể chuyển thành bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.

Ví dụ : Cho hình chópS. ABCDcóSA = a √ 6 và vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) đáyABCDlà nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kínhAD = 2 a. Tính khoảng cách từ đường thẳng ADđến mặt phẳng ( SBC ) .

AD//CD⇒AD//(SBC)⇒d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))
Hạ AK vuông góc với BC ta được :
{BC⊥AKBC⊥SA⇒BC⊥(SAK)⇒(SBC)⊥(SAK) và (SBC)∩(SAK)=AK
Hạ AG vuông góc với SK ta có ngay AG⊥(SBC)
Vậy AG là khoảng cácg từ điểm A tới SBC
Trong ΔSAK vuông tại A ta có :
1AG2=1SA2+1AK2=1(a6–√)2+1(a3√2)2=32a2⇒AG=a6–√3

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng có thể quy về tính theo:
• Tính khoảng cách giữa một điểm (thuộc mặt phẳng) đến mặt phẳng
• Tính khoảng cách giữa một đường thẳng (thuộc mặt phẳng) đến mặt phẳng
• Tính khoảng cách giữa hai điểm hoặc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng

Tính khoảng cách trong không gian khi có thời gian và vận tốc trung bình của một vật

Đây là dạng bài tập thường thấy trong cả môn toán học và vật lý. Đa số các bài toán về khoảng cách hoàn toàn có thể giải bằng công thức :

d = savg× t

Trong đó d là khoảng cách, savg là tốc độ trung bình, và t là thời hạn .
Ví dụ : Một xe hơi đi từ A đến B với tốc độ 30 km / giờ. Sau đó đi từ B về A với tốc độ 45 km / giờ. Tính quãng đường AB biết thời hạn đi từ B về A ít hơn thời hạn đi từ A đến B là 40 phút .
Ô tô đi từ A đến B sau đó lại từ B về A nên quãng đường đi và quãng đường về bằng nhau. Quãng đường như nhau nên tốc độ và thời hạn là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau .
Bài toán đã cho biết tốc độ khi đi và tốc độ khi về. Dựa vào đó ta hoàn toàn có thể kiến thiết xây dựng mối quan hệ giữa thời hạn đi và thời hạn về rồi từ đó tìm ra đáp số của bài toán .

Tỉ số giữa vận tốc đi và vận tốc về trên quãng đường AB là : 30 : 45 = 2/3.
=> tỉ số thời gian đi và thời gian về là 3/2.

Thời gian đi từ A đến B là: 40 x 3 = 120 (phút) = 2 (giờ)

Quãng đường AB dài là : 30 x 2 = 60 ( km )
Tính khoảng cách là câu hỏi thường thấy trong các bài tập toán từ tiểu học đến trung học phổ thông. Nắm vững các chiêu thức và công thức tính khoảng cách sẽ giúp người làm tư duy nhanh hơn khi gặp phải các bài toán hình học .