Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cả Hình học Mặt phẳng Trục Lớp 10 và Hình học Trục Trống Lớp 12 đều có một công thức toán học để tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Δ cho trước. Đây là một phép toán tương đối đơn giản, bạn chỉ cần nhớ đúng công thức để làm đúng. Nếu bạn đã quên hoàn toàn, bạn có thể xem lại triết lý bên dưới, kèm theo một bài hướng dẫn với một thuật toán cụ thể.

A. Tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đến một đường thẳng

Đó là kiến ​​thức và kĩ năng giải toán hình học lớp 10 THPT

1. Cơ sở lý luận

Giả sử phương trình đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N có dạng tổng quát (x0 ; y0 ). Khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:
d (N ; Δ ) = $ frac {{ left | { A { x_0 } + b { y_0 } + c } Đúng | } } { { hình vuông { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } $ ( 1 )
Cho điểm M(xM ; yN ) và điểm N( xN ; yN ). Khoảng cách giữa hai điểm này là:
MN = $ hình vuông { { { Left ({{ x_M } – { x_N }} Right ) } ^ 2 } + { { Left ( { { y_M } – { y_N } } Right ) } ^ 2 } } $ ( 2 )

Chú ý: Nếu dòng Δ không viết ở dạng tổng quát thì trước tiên phải đưa dòng d về dạng tổng quát.

2. Bài tập có lời giải

bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Tính khoảng cách từ điểm Q(2;1) đến đường thẳng Δ.

Miêu tả cụ thể
Hỏi
d (N ; Δ ) = $ frac {{ left | { – 1.2 + 3.1 + 1 } Đúng | } } { { hình vuông { { { trái ( { – 1 } phải ) } ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } } = frac { { hình vuông { 10 } } } } { 5 } $

Bài tập 2. Từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ: $frac{x}{3} – frac{y}{2} = 5$

Mô tả cụ thể
Ta được phương trình $ frac{ x } { 3 } – frac { y } { 2 } = 5 $ 2 x – 3 y = 30 2 x – 3 y – 30 = 0
.
phương trình
là hình thức chung.

Khoảng cách từ điểm P. (1 ; 1 ) đến đường thẳng Δ dựa trên công thức ( 1 ). Thay đổi các số:d(P.; Δ) = $\frac{{trái | { 2.1 + trái ( { – 3 } phải ). 1 – 30 } phải | } } { { hình vuông { { 2 ^ 2 } + { { trái ( { – 3 } phải ) } ^ 2 } } } } $ = 8,6

bài tập 3
. Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ là: $left{start{row {l} x = 2t + 3\ y = 3t + 1 end{row} right.$

• Miêu tả cụ thể
• Xét phương trình của đường thẳng Δ, thấy:

Đường thẳng đi qua điểm Q(3;1).

Vectơ chỉ phương $overrightarrow u $ = ( 2; 3 ) nên vectơ pháp tuyến $overrightarrow n $ = ( 3; – 2 )

Phương trình trở về dạng tổng quát: 3(x – 3) – 2(y – 1) = 0 3x – 2y – 7 = 0

Δ kể từ điểm P. (1; 3): d(P.; Δ) = $\frac{{left| { 3.1 + trái ( { – 2 } phải ). 3 – 7 } phải | } } { { hình vuông { { 3 ^ 2 } + { { trái ( { – 2 } phải ) } ^ 2 } } } } $ = 2,77

B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian Oxyz

Đây là những kĩ năng và kiến ​​thức về hình học chân không môn Toán lớp 12 THPT:
1. Cơ sở lý luận

• Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và một điểm N (xN ; yN ; zN ). Xác định khoảng cách từ N đến Δ?phương pháp
• Bước 1. Tìm điểm M( x0; y0; z0) Δ
• Bước 2: vectơ chỉ hướng ${overrightarrow u }$ của[ {overrightarrow {MN} ,overrightarrow u } right]Bước 3

: d(N; ) = $frac{{left| Sử dụng công thức {trái

} phải|}}{{trái| {overrightarrow u } phải|}}$2. Bài tập có lời giải

bài tập 1
. Điểm A(1;1;1) không nằm trên đường thẳng Δ: $frac{x}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ . Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Mô tả cụ thể [ overrightarrow { AB }, vec u ] Δ là vectơ chỉ phương từ phương trình của đường thẳng: $ { vector u_ delta } $ = ( 1 ; 2 ; 1 )
Điểm B (0 [ { overrightarrow { AB }, vec u } right ] $ = ( 4 ; – 1 ; – 2 ) .

Khi điều này: d (A ; Δ ) = $ frac {{ left | {Bên trái} phải | } } { { | véc tơ | } } = frac { { hình vuông { 14 } } } { 2 }. $

Bài tập 2
. Xét hệ tọa độ Oxyz với Δ: $frac{x}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ và một điểm có hoành độ A( 1 ; 1; 1). Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?
Mô tả cụ thể
Khoảng cách AM nhỏ khi AM ⊥ Δ => $A{M_{min}} = d(A ; delta). $ [ overrightarrow { AB }, vec u ] Dòng: $ frac { x } { 1 } = frac { { y – 1 } } { 2 } = frac { { z + 1 } } { 1 } $ => vtcp $ { vec u_ Delta } $ = ( 1 ; 2 ; 1)
Điểm B (0 [ { overrightarrow { AB }, vec u } right ] $ = ( 4 ; – 1 ; – 2 ) .

Bây giờ chúng ta sử dụng công thức để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (A ; Δ ) = $ frac { { left | {Bên trái} phải | } } { { | véc tơ | } } = frac { { sqrt { 14 } } } { 2 } $ $ Mũi tên phải A { M_ { min } } } = frac { { sqrt { 14 } } } } { 2 }. $

bài tập 3
. Một đường thẳng Δ: $Delta :frac{x}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M( 1; 1; 1 ) , N( 0 ; 1;-1) nằm trong không gian Oxyz. Gọi P là hình chiếu của M trên đường thẳng. Tính diện tích tam giác MPB
Miêu tả cụ thể [ { overrightarrow { MQ }, overrightarrow u } right ] Từ phương trình của đoạn thẳng: USD delta: frac { x } { 1 } = frac { { y – 1 } } { 2 } = frac { { z + 1 } } { 1 } $ Ta trừ đi vectơ chỉ phương của đoạn thẳng ${vectơ u_delta} $ = (1 ; 2 ; 1 ) có dạng
Chọn điểm Q. ( 2 ; 5 ; 1 ) ∈ Δ => $overrightarrow { MQ } $ = ( 1 ; 4 ; 0 ) => $ left [ { overrightarrow { MQ }, vec u } right ] $ = ( 4 ; – 1 ; – 2 ) .
Khi đó: d(M ; Δ ) = $frac{{ left | {Bên trái

} phải | } } { { | véc tơ | } } = frac { { hình vuông { 14 } } } { 2 } $

USD Rightarrow MP = frac {{ sqrt { 14 } } } { 2 }. $
Lại N ∈ Δ => ΔMNP vuông P => $sqrt {M{N^2} – M{P^2}} = frac{{sqrt 6 }}{2}$