( 2 )

Câu 11. Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

A.
3
a

. B.

5
a

. C.

2
a

. D.

2
a

.

Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

A. 3 34
34
a

. B. 34

34
a

. C. 4 34

34
a

. D. 9 34

34
a

.

Câu 13. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh . a. Cạnh bên SA và vng góc a
với đáy



ABC



. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chópS ABC. .

ABC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chópS ABC. .

A. 42
6
a

. B.

7
21
a

. C.

3
21
a

. D. 21

6
a

.

Câu 14. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnha, tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vng góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópSABCD.

A. 42
6
a

. B.

7
21
a

. C.

3
21
a

. D. 21

6

a

a

.

Câu 15. Cho hình chóp S ABCD. có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A,
,

M P cắt cạnh SC tại N với M , Plà các điểm thuộc các cạnh SB, SD sao cho 1,
2
SN

SB 
2

3
SP

SD . Tính thể tích khối đa diện ABCD MNP..
.A. 23

15V. B.

29

30V. C.

30

23V. D.

23
30V.

Câu 16. Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông. Biết rằng SAa,SB SC k
. Đặt SB. Tính thể tích tứ diện SABC theo x a k x,, và xác định SB SC, để thể tích tứ
diện SABC lớn nhất.

.A.
2

6
ak

. B.

2

4
ak

. C.

2

12
ak

. D.

2

24
ak

( 3 )

CẤU TRÚC ĐỀ TEST NHANH CƠNG THỨC TÍNH NHANH
(KHƠNG PHÂN MỨC ĐỘ NHẬN THỨC)

CÂU DẠNG BÀI TẬP

1 THỂ TÍCH TỨ DIỆN ĐỀU
2 THỂ TÍCH TAM DIỆN VNG

3 TAM DIỆN VNG CĨ 3 DIỆN TÍCH 3 MẶT

4 THỂ TÍCH KHI BIẾT 3 CẠNH BÊN VÀ 3 GÓC Ở ĐỈNH

5 THỂ TÍCH KHI BIẾT GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH CỦA 2 CẠNH ĐỐI
6 THỂ TÍCH BIẾT GĨC NHỊ DIỆN

7 THỂ TÍCH TỨ DIỆN CÓ 3 CẶP CẠNH ĐỐI BẰNG NHAU

8 THỂ TÍCH TỨ DIỆN CĨ 5 CẠNH BẰNG NHAU VÀ 1 CẠNH KHÁC
9 TÍNH NHANH TỶ SỐ CHĨP ĐÁY TỨ GIÁC

10 TÍNH NHANH TỶ SỐ LĂNG TRỤ

11 TÍNH NHANH BÁN KÍNH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐỀU
12 BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐẶC BIỆT KHÁC
13 BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐẶC BIỆT KHÁC
14 BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHĨP ĐẶC BIỆT KHÁC

15 TÍNH NHANH LIÊN QUAN CHIA KHỐI

15 TÍNH NHANH LIÊN QUAN CHIA KHỐI

16 TÍNH NHANH LIÊN QUAN MAX MIN

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.A 3.D 4.B 5 6.C 7.A 8.D 9.B 10.B

11.D 12.D 13.D 14.D 15.D 16.D

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. [2H1-3.2-2] Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh 2a .

A.

3
2 2

3
a

. B. 2 2a3. C.

3
2

4
a

. D.

3
2
12

a
.
Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn A

Giả sử tứ diện đều SABC. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Ta có 1 .
3

 _ABC

V SO S.

O
S

A

B

( 4 )

1

. .sin 60
2

 

ABC

S AB AC a2 3, 2 3

3
a

OA   2 2 2 6

3
a

SO SA OA .

1
.S

3 ABC

V  SO

3

2 2

3
a

.

* Dùng cơng thức tính nhanh :

Thể tích của khối tứ diện đều cạnh b :
3

2
12
b

V .

Áp dụng công thức trên ta có: 3. 2
12

V  AB

 

2 3 2

2 3 2

12
a

 2 3 2

3
a

.

Câu 2. [2H1-3.2-1] Cho khối tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc và OA ; a
OB ; OC cb . Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo cơng thức nào sau đây
A. 1. .

6

V  a b c. B. 1. .

3

V  a b c. C. 1. .

2

V  a b c. D. V 3. .a b c.
Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn A

1 1 1 1

.. .. .

3 3 2 6

  

OABC

V Sh OA OB OC a b c.

Câu 3. [2H1-3.2-2] Cho hình chóp S ABC với các mặt .



SAB



,



SBC



,



SAC



vng góc với nhau
từng đơi một. Tính thể tích khối chópS ABC. Biết diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần .
lượt là 2

SABSBCSACvng góc với nhautừng đơi một. Tính thể tích khối chópS ABC. Biết diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần .lượt là 2

4a, a, 2 9a. 2

A. 6a. 3 B. 2 3

3a. C.

3

6 2a. D. 2 2a . 3
Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn D



 





 





 







SAB SAC

SC SB

SAB SBC SC SAB

SC SA

SAC SBC SC






 

   

  _



 _{ }



.

Chứng minh tương tự ta được: SBSA

_. 1.





1. .1. 1. .

1. . 1. 1. .

3 3 2 6

  

S ABC

V SC dt SAB SC SB SA SA SB SC.

2 2 2

1 1

.. . .

6 SA SB SC 6 SA SB SB SC SA SC

  1 2 3 3

1 2 3

2. .
1

2 .2 .2 2 2

6 3

S S S

S S S a

  .

Cách 2:

( 5 )

Cho hình chóp S ABC với các mặt phẳng .



SAB

 

, SBC

 

, SAC



vng góc với nhau từng đơi
một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt là ,, S S S. Thể tích khối chóp SABC là ₁, ₂, ₃

SAB, SBC, SACvng góc với nhau từng đơimột, diện tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt là ,, S S S. Thể tích khối chóp SABC là 1, 2, 3

1 2 3
.

2. .
3

S ABC

S S S

V  .

1 2 3 3

.

2. .

2 2
3

S ABC

S S S

V   a.

Câu 4. [2H1-3.2-3] Cho tứ diện S ABC có . SA , 1 SB , 2 SC  và 3 ASBBSCCSA . Tính 60
thể tích khối tứ diện S ABC ..

A. 2

12. B.

2

2. C.

3

2. D. 2.

Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn B

Cách 1:

Gọi B, C lần lượt là các điểm trên SB và SC thỏa SB , 1 SC . 1

Khi đó tứ diện .S AB C  là tứ diện đều có cạnh là 1.

Khi đó tứ diện .S AB C  là tứ diện đều có cạnh là 1.

Do đó thể tích của khối tứ diện .S AB C  là _. 2
12
S AB C

V _{ } .
Mặt khác ta lại có

.

. .

.

1 1 1 6 2 2

6

2 3 6 12 2

S AB C

S ABC S AB C
S ABC

V SB SC

V V

V SB SC

 

 
 

        .

Cách 2:

Ta áp dụng cơng thức tính thể tích sau:

Cho khối tứ diện S ABC có . SA, SB ba , SC c, ASB,  BSC



, CSA



. Khi đó
thể tích khối tứ diện S ABC được tính bằng cơng thức: .

, CSA. Khi đóthể tích khối tứ diện S ABC được tính bằng cơng thức: .

2 2 2

. 1 2 cos .cos .cos cos cos cos

6
S ABC

abc

V        .

Áp dụng vào bài giải ta được thể tích của khối tứ diện S ABC là .

2 2 2

.

. .

1 2 cos .cos .cos cos cos cos

6
S ABC

SA SB SC

( 6 )

3 2

1.2.3 2

1 2cos 60 3cos 60

6 2

     .

Câu 5. [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABC có . ABAC4,BC2,SA4 3,SABSAC 30. Tính
thể tích khối chóp S ABC ..

A. V_{S ABC.} 12. B.V_{S ABC.} 6. C. V_{S ABC.} 8. D. V_{S ABC.} 4.
Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn D

Cách 1:

Ta có _SB2 _SA2 _AB2_{2.SA AB. .cos 30}_SB2 ₁₆_SB_4.
Tương tự ta cũng có SC  4 SBC là tam giác cân đỉnh S.
Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra BCSM và BCAM.

Có     





 _

BC SM

BC SAM

BC AM. Suy ra . . .

1

2 2 2.. .

3 

  

S ABC S ABM B SAM SAM

V V V BM S

1


BM, SM AM  SB2BM2  16 1  15.

Gọi H là trung điểm của SA MH SA và MH 

   

15 2 2 3 2  3
nên 1. 3.4 3 6

15 2  2 3 2  3 nên 1. 3.4 3 6

2

 

SAM

S Vậy _. 2. .1. 2.1.6 4

3  3

  

S ABC SAM

V BM S.

Cách 2:

Ta áp dụng công thức tính thể tích sau:

Cho tứ diệnABCD . Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD,  là góc giữa
hai đường thẳng đó.Thể tích khối tứ diện ABCD : 1. . .sin

6
ABCD

V  AB CD d .

Có   

 _

BC SM

BC SA

BC AM.

Gọi H là trung điểm của SA
Ta có  




MH SA

MH BC và

   

2 2

15 2 3 3

  

MH









.

1 1

.. .d, .sin, .4 3.2. 3.sin 90 4 .

6 6

S ABC

( 7 )

Câu 6. [2H1-3.2-2] Cho hình chóp đều .S ABC có cạnh đáy bằng 2a ; mặt bên tạo với đáy góc _60.
Thể tích khối chóp S ABC là .

A.
3

2
3
a

. B.

3
3

24
a

24a

. C.

3
3
3
a

. D.

3

24
a

.
Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn C

Áp dụng cơng thức tính nhanh
3

tan
24
x

V   với x2 ;a  600 ta có:

3 0 3

.

(2 ) tan 60 3

24 3

S ABC

a a

V  

Câu 7. [2H1-3.2-3] Cho tứ diện ABCD có ABCD4 ;a ACBD5 ;a ADBC6a. Tính thể
tích khối tứ diện ABCD

A.
3

15 6

4
a

. B.

3

15 3

4
a

. C.

3

15 6

2
a

. D.

3

5 6

4
a

.
Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn A

Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích của tứ diện gần đều
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1

( )( )( )

6 2

ABCD

V  x y z x z y y z x với x4 ;a y5 ;a z6a ta có:
3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 15 6

(16 25 36 )(16 36 25 )(25 36 16 )

4
6 2

ABCD

a

V  a  a  a a  a  a a  a  a  .

Câu 8. [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABC có SA.  (0x  x 3); tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tìm x để khối chóp S ABC có thể tích lớn nhất. .

A. 3

2

x . B. 3
3

x . C. 6
3

x . D. 6
2
x .
Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn D

Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích :

2 2 2

.

1 1

.. 3 3

12 12

S ABC

V  SA AB AB SA  x x 1 1. ( 2 3 2) 1
12 2 x x 8

   .

_. 1 6

8 2

S ABC

( 8 )

Câu 9. [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích là V. Gọi . M P; lần
lượt là trung điểm của SB SD;. Mặt phẳng (AMP) cắt SC tại N. Tính thể tích khối đa diện

ABCDMNP.
A. 1

6V. B.
5

6V. C.
1

12V. D.

11
12V.
Lời giải

1112V .Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn B

Ta có a SA 1
SA

  ; b SB 2
SM

  ; c SC
SN

 ; d SD 2
SP

  và a c    . b d c 3

Áp dụng cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích hình chóp tứ giác với đáy là hình bình hành :
.

. 4

S AMNP

S ABCD

V a b c d

V abcd

  

 1

6

 ta được _. 1

6

S AMNP

V  V.

Suy ra thể tích khối đa diệnABCDMNP bằng 5
6V.

Câu 10. [2H1-3.2-3] Cho hình lập phương _{ABCD A B C D.} ‘ ‘ ‘ ‘ _{cạnh 2a. Gọi}

M là trung điểm của BB ; ‘
điểm P thuộc cạnh DD sao cho ‘ 1 ‘

4

DP DD. Mặt phẳng (AMP) cắt ‘

CC tại N. Tính thể
tích khối đa diện ABCDMNPQ.

A. 3

2a. B. 3

3a. C. 11 3

3 a. D.
3
9
4a.

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn B

Ta có ‘ ‘ ‘ ‘

3

. 8

ABCD A B C D

V  a.

Đặt x AA_‘ 0
AA

  ; _‘ 1
2
BM
y

BB

  ; z CN_‘
CC

 ; _‘ 1

4
DP
t

DD

  và 3

4
x    z y t z.

Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích của khối lăng trụ ta có :

‘ ‘ ‘ ‘

3 3

. .

3

. .8 3

4 8

ABCD MNPQ ABCD A B C D

x y z t

V     V  a  a.

Câu 11. [2H2-2.2-3] Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh
bằng a.

A.
3
a

. B.

5
a

. C.

2
a

. D.

2
a

.
Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

( 9 )

Công thức nhanh hình chóp tứ giác đều tất cả cạnh đều bằng a:

2 2
SA a
R  .

Công thức nhanh hình chóp tứ giác đều

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

SA SA a a

R

SO _{SA OA a}

a

   

 _{ }

 _ _

.

Câu 12. [2H2-2.2-3] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính
bán kính mặt ầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

A. 3 34
34
a

. B. 34

34
a

. C. 4 34

34
a

. D. 9 34

34
a

.
Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Cơng thức nhanh hình chóp tứ giác đều:

2

2
SA
R

SO
.

Gọi O là tâm của hình vng ABCD, suy raSO



ABCD



.
Ta có:

ABCDTa có:

2 2
AC a
AO  .

Xét tam giác SAO vng tại O ta có

2

2 2 2 34

(3 )

2
2

a a

SO SA OA  a _ _ 

 .

Áp dụng công thức

 

2

2 2

2 2

3 9 34

2 2 34 34

2
2
a

SA SA a

R

SO SA OA a

   

.

( 10 )

A. 42
6
a

. B.

7
21
a

. C.

3
21
a

. D. 21

6
a

.
Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Cơng thức nhanh hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy: Gọi h là chiều cao hình chóp
và r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có

2
2
2
h
R  _{ } r

 
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC :

2 3

,

3 3

a

r AG AM  hSA a

Áp dụng cơng thức ta có

2
2

3 21

2 3 6

a a a

R  _{ } _ _ 

  _{ }.

Câu 14. [2H2-2.2-3] Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnha, tam giác SAB đều

và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính nửa đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

SABCD.
A. 42

6
a

. B.

7
21
a

. C.

3
21
a

. D. 21

6
a

.
Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

( 11 )

Ta có

2
2 2

4

b d

GT
R R R 

Giao tuyến của



SAB



với (ABCD) làAB.
Bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy

SABvới (ABCD) làAB.Bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy

2

d

a
R AO.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên

3

b

a
R SG.

Áp dụng công thức

2
2

2 2

2 2 21

4 2 3 4 6

b d

GT a a a a

R R R   _ _ _ _  

   .

Câu 15. [2H1-3.3-3] Cho hình chóp S ABCD. có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng
qua A, M, P cắt cạnh SC tại N với M , P là các điểm thuộc các cạnh SB, SD sao
cho 1,

2
SM

SB 

2
3
SP

SD. Tính thể tích khối đa diện ABCD MNP..
.A.23

15V. B.

29

30V. C.

30

23V. D.

23
30V.
Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Công thức nhanh: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình bình .
hành lần lượt tại M N P Q,, , sao cho SM x,SN y,SP z,SQ t

SA  SB  SC  SD ta có

.

.

1 1 1 1

4
S MNPQ

S ABCD

V _xyzt

V x y z t

 

 _    _

  và

1 1 1 1
x  z y t.

( 12 )

Ta có 1, 1,, 2

2 3

SA SM SN SP

x y z t

SA SB SC SD

       và 1 1 1 1 1 1 2 3 2

2 z 5
x        z y t z.

Do đó _. 1 1 1 1 7 _. 23

4 30 30

S AMNP ABCD MNPQ

xyz

V V V V V

x y z t

 

 _    _   

 .

Câu 16. [2H1-3.3-3] Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông. Biết rằng SAa,
SB SC . Đặt SB xk . Tính thể tích tứ diện SABC theo a k x,, và xác định SB SC, để thể

tích tứ diện SABC lớn nhất.

tích tứ diện SABC lớn nhất.

.A.
2

6
ak

. B.

2

4
ak

. C.

2

12
ak

. D.

2

24
ak

.

Lời giải

Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Thể tích tứ diện:

2 ₂

1 1 1

.. ( )

6 6 6 2 24

SABC

x k x ak

V  SA SB SC  ax k x a_   _ 

 .

Dấu bằng xảy ra khi

2
k
x   . k x x