Đây là một bài viết rất hữu ích cho bạn đọc, với cái nhìn tổng quan đầy đủ về các trường hợp thường gặp khi tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một đa diện:

Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp

• Mặt cầu quay quanh một đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện đó.

Điều kiện cần và đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp

• Đáy là đa giác nội tiếp

để chứng minh xem bài giảng

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy

USD R = hình vuông { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( dfrac { h } { 2 } right ) } ^ { 2 } } . $
USD { { R } _ { d } } $ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; USD h USD là độ dài của cạnh vuông góc với mặt đáy.

Ví dụ 1.Xét hình chóp chữ nhật $S.ABCD$ có $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

MỘT. $R=frac{13a}{2}.$

b. $R=6a.$

C. $R=frac{17a}{2}.$

D. $R=frac{5a}{2}.$

Trích đề thi THPTQG 2017 – Câu 16 – Mã đề 122

quàChúng ta có ${{R}_{d}}=frac{AC}{2}=frac{sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2 }=frac{sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=frac{5a}{2}.$

Vậy $ R = sqrt { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( frac { h } { 2 } right ) } ^ { 2 } } } = sqrt { { { left ( frac { 5 a } { 2 } Chọn câu trả lời đúng $A.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABC$ [SA=SB=SC=a,widehat{ASB}=widehat{ASC}={{90}^{0}},widehat{BSC}={{60}^{0}}.] Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $frac{7pi {{a}^{2}}}{6}.$

b. [frac{7pi {{a}^{2}}}{3}.]

C. $frac{7pi {{a}^{2}}}{18}.$

D. $frac{7pi {{a}^{2}}}{12}.$

quà Chúng ta có $left{start{gathered} SA bot SB hfill \ SA bot SC hfill \ end{gathered} đúng. Rightarrow SA bot (SBC).$

Vậy $ R = sqrt { R_ { SBC } ^ { 2 } + { { left ( frac { SA } { 2 } right ) } ^ { 2 } } } = sqrt { { { left ( frac { BC } { 2 sin widehat {BSC }} phải 3} } { 2 } } phải) } ^ { 2 } } + { { trái ( frac { a } { 2 } phải ) } ^ { 2 } } } = hình vuông { frac { 7 } { 12 } } Một. $
Diện tích bề mặt của hình cầu là USD S = 4 pi { { R } ^ { 2 } } = frac { 7 pi { { a } ^ { 2 } } } { 3 }. $Chọn đáp án B.

Công thức 2: Tứ diện vuông (Đây là trường hợp đặc biệt của Công thức 1)

Tứ diện vuông $OABC$ có các đường phân giác $OA, OB, OC$ vuông góc với nhau [ R = frac { sqrt { O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } } } { 2 }. ]

Ví dụ 1: Tứ diện $OABC$ có hai đường vuông góc $OA,OB,OC$ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $sqrt }.$

MỘT. $frac{4}{3}.$

b. $8,$

C. $frac{8}{3}.$

D. $8.$

quà Chúng ta có $ R = frac { sqrt { O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } } } { 2 } = sqrt { 3 } Bói bài bên trái O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } = 12. $
Mặt khác USD { { V } _ { OABC } } = frac { 1 } { 6 }. Theo bất đẳng thức OA.OB.OC$ và AM – GM ta có:
[ 12 = O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } ge 3 sqrt [ 3 ] { O { { A } ^ { 2 } }. O { { B } ^ { 2 } }. O { { C } ^ { 2 } } } Mũi tên phải OA.OB.OC le 8. ]
Vậy USD { { V } _ { OABC } } frac { 8 } { 6 } = frac { 4 } { 3 }. $A Chọn câu trả lời.

Công thức 3: Lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp riêng của công thức 1)

USD R = hình vuông { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( frac { h } { 2 } right ) } ^ { 2 } } . $
USD { { R } _ { d } } $ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; USD h USD là chiều dài cạnh.

Ví dụ.

MỘT. $a=frac{sqrt{3}R}{3}.$

b. $a=2R.$

C. $a=frac{2sqrt{3}R}{3}.$

D. $a=2sqrt{3}R.$

Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – Mã đề 124

quà Chúng ta có $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{a}{sqrt{ 2 }} phải)}^{2}}+{{trái( frac{a}{2} phải)}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{2}.$ as $a=frac { 2sqrt{3}R}{3}.$ C Chọn câu trả lời.

Ví dụ 2: Cho một lăng trụ tam giác đều [ABC.A’B’C’] có các cạnh bằng nhau [a]. trong khu vực [S]của mặt cầu đi qua đỉnh $$ $6$ của lăng kính.

MỘT.[S=dfrac{49pi {{a}^{2}}}{144}.]

b. [S=dfrac{7{{a}^{2}}}{3}.]

C.[S=dfrac{7pi {{a}^{2}}}{3}.]

Đ. [S=dfrac{49{{a}^{2}}}{144}.]

quà Có $S=4pi {{R}^{2}}=4pi trái( R_{d}^{2}+{{trái( dfrac{h}{2} phải)}^{2}} phải)=4pi trái( {{trái( dfrac{a}{sqrt{3}} phải)}^{2}}+{{trái( dfrac{a}{2} phải)}^{2}} phải)=dfrac{7pi {{a}^{2}}}{3}.$ C Chọn câu trả lời.

Công thức 4: Các đỉnh của một hình lăng trụ đứng là $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^ {2}}} .$

USD tứ diện ( { { H } _ { 1 } } ) USD là lăng trụ đứng USD ( { { H } _ { 2 } } ), USD thì USD { { R } _ { ( { { H } _ { 1 } } ) } } = { { R } _ { ( { { H } _ { 2 } } ) } } = hình vuông { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( frac { h } { 2 } right )} ^ { 2 } } . $

Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ đứng có chiều cao không đổi $h$ và một tứ giác $ABCD,$ $A,B,C,D$ $overrightarrow{IA}.overrightarrow{IC }=overrightarrow{IB }.overrightarrow{ID}= – {{h}^{2}},$ trong đó $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

quà

Ta có $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}},$ trong đó $O$ là tâm của hình tròn. muốn

Máy ghi đè USD {IA}. Máy ghi đè {ic} = Máy ghi đè {ip}. Ghi đè Taro { id } = – { { h } ^ { 2 } } = O { { I } ^ { 2 } } – R_ { d } ^ { 2 } Trái Ritaro R_ { d } ^ { 2 } = O { { Tôi } ^ { 2 } } + { { h } ^ { 2 } } ge { { h } ^ { 2 } }. $
Vì vậy, $ R ge sqrt { { { h } ^ { 2 } } + frac { { { h } ^ { 2 } } } { 4 } } = frac { h sqrt { 5 } } { 2 }. $
Chọn đáp án C. Dấu bằng $O bằng I. $

Công thức 5: Công thức của một hình chóp có đáy vuông góc $R = square {R_d^2 + {{left( {dfrac{a}{2}.cot x} right)}^2}} $ là ${{R } _{d} }$ là đường tròn đáy; $a,x$ lần lượt là độ dài tiết diện của mặt bên, mặt đáy và góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống.

Hoặc bạn có thể sử dụng công thức $R = sqrt { R_ { d } ^ { 2 } + R_ { b } ^ { 2 } – frac { { { a } ^ { 2 } } } { 4 } }, USD trong đó USD { { R } _ { b } } $ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của mặt bên và $a $ lần lượt là độ dài tiết diện của mặt bên và mặt đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ có cạnh là $sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

MỘT. $R=dfrac{asqrt{10}{2}.$

b. $R=dfrac{asqrt{42}}{6}.$

C. $R=dfrac{asqrt{6}}{4}.$

D. $R=sqrt{2}a.$

quà tỷ$R=sqrt{{{left( dfrac{sqrt{2}a}{sqrt{2}} phải)}^{2}}+{{left( dfrac{sqrt{2}a}{2}) trong một . {{60}^{0}} phải)}^{2}}}=sqrt{{{trái( frac{sqrt{2}a}{sqrt{2}} phải)}^{2}}+{ {trái( frac{sqrt{2}a}{2sqrt{3}} phải)}^{2}}}=frac{asqrt{42}}{6}.$

Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng $ABC. {A}'{B}'{C}’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A.$ $AB=A{A}’=a,$ $AC=2a.$ Gọi $M$ $ là trung điểm của AC

A. 5 USD của { { a } ^ { 2 } }. $
B. 3 USD của { { a } ^ { 2 } }. $
C. 4 USD của { { a } ^ { 2 } }. $
D. USD 2 pi { { a } ^ { 2 } }. $

quà Đỉnh $M. {A}'{B}'{C}’$ có một trang $(M{A}'{C}’)bot ({A}'{B}'{C}’)$

USD S = 4 pi {{ R } ^ { 2 } } = 4 pi Trái ( R_ { { A } ‘ { B } ‘ { C } ‘ } ^ { 2 } + R_ { M { A } ‘ { C } ‘ } ^ { 2 } – { { left ( dfrac { { A } ‘ { C } ‘ } { 2 } right ) } ^ { 2 } } right ) = 4 pi left ( { { left ( dfrac { square { 5 } } a } {2 } phải a } ^ { 2 } }.$
USD {{ R } _ { { A } ‘ { B } ‘ { C } ‘ } } = dfrac { { B } ‘ { C } ‘ } { 2 } = dfrac { sqrt { 5 } a } { 2 } ; M {A } ‘ = M {C } ‘ = sqrt { 2 } a, { A } ‘ {C } ‘ = 2 a Mũi tên phải M { A } ‘ bot M { C } ‘ Mũi tên phải { { R } _ { M { A } ‘ { C } ‘ } } = dfrac { { A } ‘ { C } ‘ } { 2 } = a. $
Chọn đáp án A.

Công thức 6: Một hình chóp có các cạnh bên $R=dfrac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài các cạnh và $h$ là chiều cao của hình chóp, được xác định bởi $h=sqrt {c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$

Ví dụ 1. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của một tứ diện đều cạnh $sqrt{3}a.$

MỘT. $R=frac{asqrt{6}}{4}.$

b. $R=frac{asqrt{3}}{2}.$

C. $R=frac{3sqrt{2}a}{4}.$

D. $R=frac{3a}{4}.$

quàChúng ta có $cb=sqrt{3}a,h=sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}=sqrt{3{a}^{2}}-{ { trái ( frac{sqrt{3}a}{sqrt{3}} phải)}^{2}}}=sqrt{2}aRightarrow R=frac{3{{a}^{2}}}{2sqrt{ 2 } a}=frac{3sqrt{2}a}{4}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Một hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $sqrt{3}$ và các cạnh $x$ với $x>1. $Kích thước của mặt cầu được xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. $S.ABC$ có giá trị nhỏ nhất trong khoảng nào sau đây?

MỘT. $(7;3by ).$

b. $(0;1).$

C. $(1;5).$

Đ. $(5;7).$

quà Sử dụng công thức cho trường hợp đỉnh của các cạnh bằng thể tích khối cầu xác định

USD V = dfrac { 4 } { 3 } pi { { R } ^ { 3 } } = dfrac { 4 } { 3 } pi { { left ( dfrac { c { { b } ^ { 2 } } } { 2 h } phải (dfrac {sqrt {3}} {sqrt {3}} phải)} ^ {2}}}} phải) } { 6 vuông { { { ( { { x } ^ { 2 } } – 1 )} ^ { 3 } } } ge tập con { ( 1 ; + infty ) } { mathop { min } , g ( x ) = g ( sqrt { 2 }) = dfrac { 4 pi } { 3 }. $C Chọn câu trả lời.

Công thức 7:Một tứ diện xấp xỉ đều $ABCD$ có $AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c$ $R=sqrt{frac{{{a}^{2}}+{{b} ^ { 2}}+{{c}^{2}}}{8}}.$

Xem thêm các ví dụ và công thức tính nhanh đường cônic bất kỳ trong giáo trình do Vted phát hành:

Bạn đọc nào cần bản PDF của bài viết này, vui lòng để lại bình luận ở phần bình luận bên dưới bài viết này, Vted sẽ gửi cho bạn.

>> Tổng hợp các công thức giải nhanh số phức thông dụng nhất – Trích trong bài giảng khóa học PRO X tại Vted. V.N