Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Bài toán khoảng cách trong hình học chân không là một yếu tố quan trọng thường được mở ra trong các câu hỏi có vận dụng và vận dụng cao. Các vấn đề về tính khoảng cách trong một khoảng thời gian:
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng;
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là: đúng bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia;
- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là: đúng bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng đã cho;
- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau trong không gian.
Vì vậy, cả 3 dạng toán nguyên hàm đều nêu cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là đối tượng của bài viết này. Ngoài ra, các em phải nắm vững 2 dạng toán liên quan đến góc trong không gian. :
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
1. Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Bài toán quan trọng nhất trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là dựng mặt phẳng vuông góc với điểm.
Nếu bằng chứng có vấn đề Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Sau đó ta hướng tới mục tiêu, thì trong bài toán dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta phải tìm đường thẳng (tự dựng) và chứng minh nó vuông góc với mặt phẳng cho trước, nghĩa là dựng vị trí khó hơn rất nhiều. vấn đề chứng minh.
Tuy nhiên, nếu chúng ta đều hiểu cả hai tác dụng thì giải pháp lập mặt phẳng vuông góc với một điểm sẽ thuận tiện hơn. [ bài toán ] Sau đây.
Bài toán 1. Dựng hình chiếu vuông góc với mặt phẳng kẻ từ mặt đáy của mặt phẳng.
Cho hình chóp $S.ABC $$SA$ vuông góc với đáy (ABC)USD. Hãy lập hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng (SBC) .
phương pháp. Để dựng hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$, ta vẽ hai đường vuông góc như sau:
- Trên mặt phẳng đáy $(ABC)$, vẽ $AH$ vuông góc với $BC và H$ thuộc $BC. $
- Trên mặt phẳng $(SAH)$ vẽ $AK$ vuông góc với $SH, K$ thuộc $SH. $
Dễ dàng chứng minh rằng $K$ là hình chiếu đứng của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Trên thực tế, chúng tôi có $$ bắt đầu bằng {cases}
BCperp SA\
BC per AH\
Kết luận{Các trường hợp} $$ Vì $SA$ và $AH$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $ (SAH)$ , nên nó vuông góc với ( BC ) (SAH) nên ( BCperp AK ) . Vì vậy nó là
$$ bắt đầu {trường hợp}
AKperp BC\ AKperp SH
Kết luận{Các trường hợp} $$ $BC, AH$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBC)$ , nên (AK) vuông góc với ((SBC) hay ( K ) vuông góc với (A ) mặt phẳng ((SBC) ) .
Nếu bài viết hữu ích thì bạn hoàn toàn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách click banner quảng cáo hoặc quảng cáo cho tôi 1 ly cafe trên số tài khoản Agribank 3205215033513. Cảm ơn! Dưới đây là các trường hợp $ABC$ là tam giác vuông tại $A, USD vuông tại B, USD vuông tại C$, tam giác đều, tam giác đều
- Dưới đây $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ thì $H$ là chân đường cao $A$ kẻ từ đỉnh của tam giác (ABC) và công thức tính độ dài rất dễ tìm . Phân đoạn $AK$ như sau: $$ frac{1}{AK^2}=frac{1}{AS^2}+frac{1}{AB^2}+frac{1}{AC^2} $$
- $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (khi đó $H$ trùng với điểm $B$).
- $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ (khi đó $H$ trùng với điểm $C$).
- Đáy của $ABC$ là tam giác đều cạnh $A$ hoặc tam giác đều cạnh (khi đó $H$ là trung điểm của $BC$).
Bài toán 2. Dựng phép chiếu vuông góc sử dụng giao tuyến của hai mặt phẳng đứng.
$S.ABC$ Cho hình chóp (SBC)USD và hình chóp (ABC)USD có hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy lập hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng (SBC) .
phương pháp. Ở đây rõ ràng là hai mặt phẳng thẳng đứng $(SBC)$ và $(ABC)$ giao nhau với giao tuyến của đường thẳng $BC$. Vậy để dựng hình chiếu vuông góc của (A) lên mặt phẳng ((SBC)) ta cần bớt phương vuông góc (AK) xuống thiết diện (BC) là xong. $$ bắt đầu {trường hợp}
(SBC)perp (ABC)\ (SBC)cap (ABC) = BC\ AKsubset (ABC)\ AKperp BC end{cases} $$ $(SBC)$ và suy ra đường thẳng $AK$ vuông góc với mặt phẳng $K $ $( SBC)$ là hình chiếu đứng của $A$ lên mặt phẳng.
Ở đây chúng ta đều sử dụng định lý hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau bởi một đường ngang. Mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng thứ nhất và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai.
2. Ví dụ tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ví dụ 1. $S.ABC, $ Cho $S.ABC có $SA $ vuông góc với đáy, $SA=3a,$ $AB=a,$ $BC=2a,$ $widehat{ABC}=60^circ. Chứng minh tam giác $ABC $ vuông và tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC), $ từ điểm $A$ đến $(SBC). $
Khuyên nhủ. Áp dụng định lý cosin cho tam giác (ABC), ta có $$ AC^2=AB^2+BC^2-2ABcdot BCcdot coswidehat{B}=3a^2 $$ Hiển nhiên ( BC^2=AB^2 +AC^ 2 ) Do đó Tam giác (ABC) vuông tại $A$. Lúc này, (A ) là hình chiếu đứng của ( (SAC) ) lên mặt phẳng, và khoảng cách cần thiết là $$ d(B,(SAC))=BA=a. $$
Bạn nào chưa biết cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có thể xem lại bài Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Để tính khoảng cách từ điểm $A $ đến mặt phẳng $(SBC)$ , ta cho bài toán 1 Trường hợp cơ sở là một tam giác vuông (tôi sẽ không viết lại ở đây), đáp án là $$ d(A,(SBC))=AK=frac{3a}{sqrt{13}}$$
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Hai mặt phẳng $(SAB), $$(SAD)$ cùng vuông góc với đáy và tạo với đáy một góc $SD $ $45^ với đường tròn cơ sở. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC), $ từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
Khuyên nhủ. Hai mặt phẳng $(SAB),(SAD)$ cùng vuông góc với mặt đáy nên giao tuyến của chúng là đường thẳng ( SA ) vuông góc với mặt phẳng đáy ( (ABCD) ).
Nhắc lại định lý quan trọng, nếu hai mặt phẳng đứng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Bây giờ, góc giữa đường thẳng ( SD ) và đáy bằng góc ( wide { SDA } ) và góc này ( 45 ^ circ ). Do đó tam giác (SAD) ngoại tiếp (A) và (SA = AD = a) là tam giác vuông đều (SAB) có đường cao (AK) và là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên (AK) = frac{1}{ 2} SB = frac { a sqrt { 2 } } { 2 } )
Để tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC),$ ta thử xét đồ thị như trong bài toán 1. Vẽ đường vuông góc hai lần, lần thứ nhất, ta hạ đường vuông góc trong mặt phẳng ((ABCD) ) từ ( A ) xuống ( BC ), là điểm ( B ). Vẽ đường vuông góc thứ hai, trong mặt phẳng ( (SAB) ) ta gọi đường vuông góc ( A ) xuống ( SB ), ( AK ), sau đó tính khoảng cách cần tìm độ dài đoạn thẳng ( AK ).
Ta tiếp tục thực hiện tương tự để tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bài toán 1. Ta kẻ hai đường vuông góc, lần thứ nhất ( A ) nằm dưới đường vuông góc ( BC ) luôn là tâm của hình vuông ( O ) (vì trong một hình vuông hai đường chéo vuông góc với nhau). ( S ) đến ( O ) và từ ( A ) đến ( A ) vuông góc với ( SO ) gọi là ( AH ) thì chứng minh được ( H ) là hình chiếu của ( A ) vuông góc với mặt phẳng ( ( ( ) SBD) ). Bây giờ chúng tôi có nó
USD $ frac { 1 } { AH ^ 2 } = frac { 1 } { AS ^ 2 } + frac { 1 } { AB ^ 2 } + frac { 1 } { AD ^ 2 } = frac { 3 } { a ^ 2 } $$ Từ đó $AH = frac {a vuông {3 }} {3 } $ và khoảng cách cần thiết $d(A, (SBD)) = AH = frac {a vuông {3}} {3 } $.
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AD$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, cộng $AD=AC=4$cm; $AB = 3$cm; $BC = 5$cm. Tìm khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD). $
Ví dụ 4. [Đề thi ĐH khối D năm 2003] Cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau và cắt nhau tại đường ngang $ delta. Lấy A, B thuộc Delta và đặt AB=a. Lấy $AC, BD$ $Delta $ và $C, D$ lần lượt vuông góc với $AC=BD=a trong hai mặt phẳng $(P),(Q)$. $ Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD).$
Khuyên nhủ. Bên dưới $ AHperp BC $ thì $ d(A,(BCD))=AH=frac{a}{sqrt{2}} $.
Ví dụ 5. [Đề thi ĐH Khối D năm 2012] Tính khoảng cách $ $ABCD$ từ điểm $A$ đến $(BCD)$ tại $a. $
Khuyên nhủ. Lưu ý rằng mặt phẳng $(BCD)$ là $(BCDA)$ . Trả lời, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$ bằng $frac{asqrt{6}}{3}$.
Khi tính toán trực tiếp khó khăn, chúng ta thường sử dụng Kỹ thuật dịch chuyển điểmĐể có được khoảng cách của các điểm, dễ dàng tìm thấy các phép chiếu trực giao.
Ví dụ 6. Tìm cạnh $ABC $AA=4a$ và $M$ là $AA$. Tính khoảng cách giữa ${d}(M,(ABC)) $ và $ {d}(M,(ABC)) $ .
Ví dụ 7. $B,$ $AB=3a,$ $BC=4a.$ Cho hình chóp $S.ABC $ là một tam giác đứng trong mặt phẳng $(SBC)$ và cho $SB=2asqrt{3} ,$ $widehat{ SBC}= 30^circ. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến $(SAC). $
Khuyên nhủ. Gọi đường cao của tam giác $SH$ là $SBC$, sau đó là $SHperp(ABC). $ ta có $$ frac{{d}(B,(SAC))}{{d}(H,(SAC))}=frac{BC}{HC}=4 $$ Từ đây ta có ${d} (B ,(ABC)) =frac{6a}{sqrt{7}}.$
3. Khoảng cách từ điểm bay huấn luyện
Mời quý thầy cô và các em tải tài liệu về bài toán khoảng cách trong hình học không gian tại đây:
- Đọc PDF Khoảng Cách Đề Thi THPT Quốc Gia
- Khoảng cách trong không gian PDF
- Bài Tập Chương Quan Hệ Vuông Góc Trong Hình Học Không Gian Lớp 11 PDF
Tổng hợp tài liệu HHKG lớp 11 chuẩn bị cho kỳ thi đại học và THPT quốc gia toàn diện nhất, Đề38+ mời quý thầy cô và các em tham khảo tài liệu tuyển tập hình học 11 ô trống hay nhất.
