Nội dung tiểu luận Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến ∆ được tính theo công thức d(M, ∆) = |Ax0 + By0. +C| √A2 + B2. Bài tập 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng (D): 4x + 3y – 2 = 0. Sử dụng công thức tính khoảng cách ta có d(M, D) = | 4 · 1 + 3 · 2 − 2| √42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm các điểm thuộc đường thẳng ∆: 2x + y – 1 = 0 và khoảng cách (D): 4x + 3y – 10 = 0 của nó bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình Điểm A(1 , −3) và khoảng cách giữa hai điểm M0(2, 4) là 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −3) có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng: y + 3 = k(x − 1) ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Do đó phương trình ∆: 24x − 7y − 45 = 0.
Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với (D0): 3x + 4y – 1 = 0 và cách (D0) một khoảng bằng 2. Đường thẳng (D) ∥ (D0) Vậy phương trình của đường thẳng (D) là: 3x + 4y + c = 0. Lấy điểm M(-1; 1) ∈ (D0), theo đề bài ta có: d(D, D0) = d(M, D) = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c|5 = 2 |c + 1| = 10 ⇔ c = 9, c = −11. Với c = 9 D : 3x + 4y + 9 = 0. Với c = -11 D : 3x + 4y – 11 = 0. Ví dụ 5. Một điểm A(-1, 2) và hai đường thẳng ( ∆ ) : x − y − 1 = 0,(∆0): x + 2y − 5 = 0. Tìm điểm M trên đường thẳng (∆) sao cho khoảng cách từ M đến (∆0) bằng AM.
Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M(1, 1) một khoảng bằng 2 và cách điểm M0(2, 3) một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆: Ax + By + C. = 0. Theo đề bài ta có: d(M, ∆) = 2 ⇔ |A + B + C| √A2 + B2 = 2 ⇔ |A + B + C| = 2√A2 + B2. Từ (1) và (2) |2A + 3B + C| = 2|A + B + C| ⇔ 2A + 3B + C = 2(A + B + C), 2A + 3B + C = −2(A + B + C) ⇔ B − C = 0,4A + 5B + 3C = 0. B = C và ( 1) Ta có |A + 2B| = 2√A2 + B2 ⇒ 3A2−4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1 ta được đường thẳng ∆1 : y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆2 : 4x + 3y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo A, ta có ∆0 = 4B2 − 1020B2 = −1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0 , ta có ∆0 = 0 thì phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có 2 dòng thỏa mãn yêu cầu.
