Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt ẩn phụ của đa thức

Ví dụ: đa thức thừa số

a) $4x^4 -37x^2+9 .$
b) $(xy)^2 +4x-4y -12. $
c) $(x^2 + 3x)^2 + 7x^2 +21x +10 $

quà

a) 4 USD x^4 – 37 x^2 + 9 USD
USD t = x^2, set t geq 0 USD
Chúng ta có:
4 USD t^2-37 t + 9 USD
USD = 4 t^2 – t-36t+9 USD
USD = t ( 4 t – 1 ) – 9 ( 4 t – 1 ) USD
USD = ( 4 t – 1 ) ( t – 9 ) USD
Vì thế
4 USD x^4 – 37 x^2 + 9 USD
USD = ( 4 x^2-1 ) ( x^2-9 ) USD
USD = ( 2 x – 1 ) ( 2 x + 1 ) ( x-3 ) ( x + 3 ). $
b) USD (xy)^2 + 4 x – 4 y – 12 = ( xy )^2 + 4 ( xy ) – 12 USD
Đặt USD t = xy USD
Chúng ta có:
USD (xy) ^ 2 + 4 (xy) – 12 USD
USD = t^2 + 4 t – 12 USD
USD = t^2-2 t + 6 t – 12 USD
$ = t ( t-2 ) + 6 ( t-2 ) USD
USD = (t-2) (t + 6) USD
Vì thế
USD (xy)^2 + 4 x – 4 y – 12 USD
USD = (xy)^2 + 4 (xy) – 12 USD
USD = (xy-2) (x-y+6). $
c) USD ( x^2 + 3 x )^2 + 7 x^2 + 21 x + 10 = ( x^2 + 3 x )^2 + 7 ( x^2 + 3 x ) + 10 USD
Đặt USD t = x^2 + 3 x USD
Chúng ta có:
USD t^2 + 7 t + 10 USD
USD = t^2 + 2 t + 5 t + 10 USD
$ = t ( t + 2 ) + 5 ( t + 2 ) USD
USD = (t + 2) (t + 5) USD
Vì thế
USD ( x^2 + 3 x )^2 + 7 x^2 + 21 x + 10 USD
USD = ( x^2 + 3 x )^2 + 7 ( x^2 + 3 x ) + 10 USD
USD = ( x^2 + 3 x + 2 ) ( x^2 + 3 x + 5 ). $

2. Đặt ẩn phụ ở dạng $ (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e $ với $ (a+d = b+c). $

Ví dụ: đa thức thừa số

a) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24$.
b) $(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16. $
c)$ (x^2 + 6x +8)(x^2+8x+15) -24. $

quà

a) USD (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) – 24 USD
USD = (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) – 24 USD
USD = ( x^2 + 5 x + 4 ) ( x^2 + 5 x + 6 ) – 24 USD
Đặt USD t = x^2 + 5 x + 5 USD
tôi đoán
USD ( x^2 + 5 x + 4 ) ( x^2 + 5 x + 6 ) – 24 USD
USD = (t-1) (t + 1) – 24 USD
USD = t^2-1-24 $
USD = t^2-25 = ( t-5 ) ( t+5 ) USD
Vậy USD ( x^2 + 5 x + 4 ) ( x^2 + 5 x + 6 ) – 24 USD
USD = ( x^2 + 5 x + 5-5 ) ( x^2 + 5 x + 5 + 5 ) USD
USD = ( x^2 + 5 x ) ( x^2 + 5 x + 10 ) USD
$ = x ( x + 5 ) ( x ^ 2 + 5 x + 10 ) USD
b) USD (x + 2) (x + 4) (x + 6) (x + 8) + 16 USD
USD = (x + 2) (x + 8) (x + 4) (x + 6) + 16 USD
USD = ( x^2 + 10 x + 16 ) ( x^2 + 10 x + 24 ) + 16 USD
Đặt USD t = x^2 + 10 x + 20 USD
tôi đoán
USD ( x^2 + 10 x + 16 ) ( x^2 + 10 x + 24 ) + 16 USD
USD = (t-4) (t + 4) + 16 USD
USD = t^2-16 + 16 = t^2 USD
Vì thế
USD ( x^2 + 10 x + 16 ) ( x^2 + 10 x + 24 ) + 16 USD

Tham Khảo Thêm: Bệnh Viện Đa Khoa Tân Hưng, 871 Trần Xuân Soạn, Tân Hưng, Quận 7

$=(x^2+10x+20)^2 $
c)$ (x^2 + 6x +8)(x^2+8x+15) -24$

USD = (x + 2) (x + 4) (x + 3) (x + 5) – 24 USD
USD = (x + 2) (x + 5) (x + 3) (x + 4) – 24 USD
USD = ( x^2 + 7 x + 10 ) ( x^2 + 7 x + 12 ) – 24 USD
Đặt USD t = x^2 + 7 x + 11 USD
tôi đoán
USD ( x^2 + 7 x + 10 ) ( x^2 + 7 x + 12 ) – 24 USD
USD = (t-1) (t + 1) – 24 USD
USD = t^2-1-24 $
USD = t^2-25 $
USD = (t-5) (t + 5) USD
Vì thế
USD ( x^2 + 7 x + 10 ) ( x^2 + 7 x + 12 ) – 24 USD
USD = ( x^2 + 7 x + 11-5 ) ( x^2 + 7 x + 11 + 5 ) USD
USD = ( x^2 + 7 x + 6 ) ( x^2 + 7 x + 16 ) USD

3. Đặt biến phụ thành đẳng cấp.

Ví dụ: Nhân tử các đa thức sau:
a) $(x^2 + 1)^2 + 3x(x^2+1) +2x^2. $
b) $(x^2 +4x +8)^2 +3x(x^2 + 4x+ 8) + 2x^2. $
c) $4(x^2 +x +1)^2 + 5x(x^2 + x + 1)+ x^2. $

quà

a) USD ( x^2 + 1 )^2 + 3 x ( x^2 + 1 ) + 2 x^2 USD
Đặt USD t = x^2 + 1 USD, ta được:
USD t^2 + 3 xt + 2 x^2 USD
USD = ( t^2 + xt ) + ( 2 xt + 2 x^2 ) USD
$ = t ( t + x ) + 2 x ( t + x ) USD
USD = ( t + x ) ( t + 2 x ) USD
Vì thế
USD ( x^2 + 1 )^2 + 3 x ( x^2 + 1 ) + 2 x^2 USD
USD = ( x^2 + 1 + x ) ( x^2 + 1 + 2 x ) USD .
b) USD ( x^2 + 4 x + 8 )^2 + 3 x ( x^2 + 4 x + 8 ) + 2 x^2.
Đặt USD t = x^2 + 4 x + 8 USD, ta được:
USD t^2 + 3 xt + 2 x^2 USD
USD = ( t^2 + xt ) + ( 2 xt + 2 x^2 ) USD
$ = t ( t + x ) + 2 x ( t + x ) USD
USD = ( x + t ) ( t + 2 x ) USD
Vì thế
USD ( x^2 + 4 x + 8 )^2 + 3 x ( x^2 + 4 x + 8 ) + 2 x^2 USD
USD = ( x + x^2 + 4 x + 8 ) ( x^2 + 4 x + 8 + 2 x ) USD

$=(x^2+5x+8)(x^2+6x+8)$.
c) $4(x^2 +x +1)^2 + 5x(x^2 + x + 1)+ x^2. $

Đặt USD t = x^2 + x + 1 USD, ta được:
4 USD t^2 + 5 xt + x^2 USD
USD = ( 4 t^2 + 4 xt ) + ( xt + x^2 ) USD
USD = 4 t (t + x) + x (t + x) USD
USD = ( x + t ) ( 4 t + x ) USD
Vì thế
4 USD ( x^2 + x + 1 )^2 + 5 x ( x^2 + x + 1 ) + x^2 USD
USD = ( x^2 + x + 1 + x ) [ 4 ( x ^ 2 + x + 1 ) + x ] $
USD = ( x + 1 ) ^ 2 ( 4 x ^ 2 + 5 x + 4 ) USD .

4. Biến con hồi quy $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0. left(dfrac{a}{e} =left( dfrac{b}{d}right)^2right ) $ . hoặc $e = left(dfrac{d}{b}right)^2. $

Giải pháp: Đặt biến con $t = x^2 + dfrac{d}{b} $ và chuyển đổi đa thức trên thành dạng có các số hạng $t^2 +bxy + zx^2 $ rồi sử dụng hằng số cân bằng.

Ví dụ: Nhân tử các đa thức sau.
a) $x^4 + 6x^3 +11x^2 + 6x+1 $
b) $x^4 + 5x^3 -12x^2 + 5x +1. $
c) $6x^4 + 5x^3 -38x^2 + 5x+ 6. $

Tham Khảo Thêm: Phương pháp giải phương trình mũ và bất phương trình mũ (Phần 1) - https://thcsbevandan.edu.vn - thcsbevandan.edu.vn

quà

a) USD x^4 + 6 x^3 + 11 x^2 + 6 x + 1 USD
USD = x^2 trái ( x^2 + 6 x + 11 + dfrac { 6 } { x } + dfrac { 1 } { x ^ 2 } phải ) USD
USD = x^2 dư [ left ( x ^ 2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } right ) + 6 left ( x + dfrac { 1 } { x } right ) + 11 right ] $
USD t = x + dfrac {1} { x } Mũi tên phải t^2 = Trái ( x + dfrac { 1 } { x } Phải) ^ 2 Mũi tên phải x^2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } = t^2 -2 đô la
USD x^2 còn lại [ left ( x ^ 2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } right ) + 6 left ( x + dfrac { 1 } { x } right ) + 11 right ] $
USD = x^2 ( t^2-2 + 6 t + 11 ) USD
USD = x^2 ( t^2 + 6 t + 9 ) USD
USD = x^2(t+3)^2 USD

$=x^2left(x+dfrac{1}{x}+3right)^2.$
b) $x^4 + 5x^3 -12x^2 + 5x +1. $

USD = x^2 trái ( x^2 + 5 x – 12 + dfrac { 5 } { x } + dfrac { 1 } { x ^ 2 } phải ) USD
USD = x^2 dư [ left ( x ^ 2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } right ) + 5 left ( x + dfrac { 1 } { x } right ) – 12 right ] $
USD t = x + dfrac {1} { x } Mũi tên phải t^2 = Trái ( x + dfrac { 1 } { x } Phải) ^ 2 Mũi tên phải x^2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } = t^2 -2 đô la
USD = x^2 dư [ left ( x ^ 2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } right ) + 5 left ( x + dfrac { 1 } { x } right ) – 12 right ] $
USD = x^2 (t^2-2 + 5 t – 12 ) USD
USD = x^2 (t^2 + 5 t – 14 ) USD
USD = x^2 (t^2-2 t + 7 t – 14 ) USD
USD = x^2 [ t ( t-2 ) + 7 ( t-2 ) ] $
USD = x^2 ( t-2 ) ( t + 7 ) USD
USD = x^2 trái ( x + dfrac { 1 } { x } – 2 phải ) trái ( x + dfrac { 1 } { x } + 7 phải ). $
c) USD 6 x^4 + 5 x^3 – 38 x^2 + 5 x + 6. $
USD = x^2 trái ( 6 x^2 + 5 x – 38 + dfrac { 5 } { x } + dfrac { 6 } { x ^ 2 } phải ) USD
USD = x^2 dư [ 6 left ( x ^ 2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } right ) + 5 left ( x + dfrac { 1 } { x } right ) – 38 right ] $
USD t = x + dfrac {1} { x } Mũi tên phải t^2 = Trái ( x + dfrac { 1 } { x } Phải) ^ 2 Mũi tên phải x^2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } = t^2 -2 đô la
USD = x^2 dư [ 6 left ( x ^ 2 + dfrac { 1 } { x ^ 2 } right ) + 5 left ( x + dfrac { 1 } { x } right ) – 38 right ] $
USD = x^2 [ 6 ( t ^ 2-2 ) + 5 t – 38 ] $
USD = x^2 ( 6 t^2-12 + 5 t – 38 ) USD
USD = x^2 ( 6 t^2 + 5 t – 50 ) USD
USD = x^2 ( 6 t^2-15 t + 20 t – 50 ) USD
USD = x^2 (2 t – 5 ) ( 3 t + 10 ) USD
USD = x^2 dư [ 2 left ( x + dfrac { 1 } { x } right ) – 5 right ] bên trái [ 3 left ( x + dfrac { 1 } { x } right ) + 10 right ]. $

5. Đặt biến phụ trợ $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+ex^2 $ với $ (ad= bc).$

Ví dụ: đa thức thừa số

a) $(x+1)(x-4)(x+2)(x-8) + 4x^2. $
b) $(x-1)(x+2)(x+3)(x-6)+32x^2. $
c) $(x+2)(x-4)(x+6)(x-12) +36x^2. $

quà

a) USD (x+1)(x-4)(x+2)(x-8) + 4 x^2.$.
USD = (x + 1) (x-8) (x-4) (x + 2) + 4 x^2 USD
USD = ( x^2-7 x – 8 ) ( x^2-2 x – 8 ) + 4 x^2 USD
Đặt USD t=x^2-8$
USD ( x^2-7 x – 8 ) ( x^2-2 x – 8 ) + 4 x^2 USD
USD = (t-7x) (t-2x) + 4 x^2 USD
USD = t^2-9 xt + 14 x^2 + 4 x^2 USD
USD = t^2-9 xt + 18 x^2 USD
USD = t^2-3 xt – 6 xt + 18 x^2 USD
$ = t (t-3x ) – 6 x ( t-3x ) USD
USD = (t-3x) (t-6x) USD

Tham Khảo Thêm: đề-cương-toán NĂM HỌC - ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Học kỳ II – Năm học - StuDocu

$=(x^2-8-3x)(x^2-8-6x).$
b) $(x-1)(x+2)(x+3)(x-6)+32x^2. $

USD = (x-1) (x-6) (x + 2) (x + 3) + 32 x^2 USD
USD = ( x^2-7 x + 6 ) ( x^2 + 5 x + 6 ) + 32 x^2 USD
Đặt USD t = x^2 + 6 USD
USD ( x^2-7 x + 6 ) ( x^2 + 5 x + 6 ) + 32 x^2 USD
USD = (t-7x) (t + 5 x) + 32 x^2 USD
USD = t^2-2 xt – 35 x^2 + 32 x^2 USD
USD = t^2-2 xt – 3 x^2 USD
USD = t^2 + xt-3xt-3x^2 USD
$ = t ( t + x ) – 3 x ( t + x ) USD
USD = ( t + x ) ( t-3x ) USD
USD = ( x^2 + 6 + x ) ( x^2 + 6-3 x ). $
c) USD (x+2)(x-4)(x+6)(x-12) + 36 x^2.$.
USD = (x + 2) (x-12) (x-4) (x + 6) + 36 x ^ 2 USD
USD = ( x^2-10 x – 24 ) ( x^2 + 2 x – 24 ) + 36 x^2 USD
Đặt USD t=x^2-24$
USD = ( x^2-10 x – 24 ) ( x^2 + 2 x – 24 ) + 36 x^2 USD
USD = (t-10x) (t + 2 x) + 36 x^2 USD
USD = t^2-8 xt – 20 x^2 + 36 x^2 USD
USD = t^2-8 xt + 16 x^2 USD
USD = (t-4x)^2 USD
USD = ( tx^2-24-4 x )^2 USD .

Bài tập

Bài 1. Nhân tử các đa thức sau:

a) $(x^2 +5x)^2 +10x^2 + 50x +24. $
b) $x^2 + 6xy + 9y^2 – 3(x+3y)+1. $
c) $(x^2 +x + 1)(x^2 +x +2) -12. $
d) $(x^2+2x)^2-4(x^2+2x)+3.$
c)$(x^2+x+1)^2-4(x^2+x+1) – 5.$

Bài 2. Nhân tử các đa thức sau

a) $(x^2+x-2)(x^2+9x+18) – 28$
b) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-20 $
c) $(x^2 + 5x+6)(x^2 -15x+56)-144 $
d)$x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
c) $(x^2-11x+28)(x^2-7x+10)-72$c

Bài 3. Nhân tử các đa thức sau

a) $(x-3)(x-5)(x-6)(x-10) – 24x^2 $
b) $(x-1)(x+2)(x+3)(x-6) + 32x^2 $
c) $(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)- 4x^2 $
d) $(x^2+1)^2 + 3x(x^2 + 1)+2x^2 $
c) $(x^2 -x+2)^4 – 3x^2(x^2-x+2)^2 + 2x^4$
Bài 4. đa thức thừa số

a) $x^3 – x^2 + x + 3$
b) $x^3 – 3x^2 – 5x +1$
c) $x^3 + 4x^2 – 2x -5$
d) $2x^3 – 3x^2 – x + $4
c) $3x^3 – 2x^2 +5$
f) $-x^3 – 4x^2 + 2x +5$

Bài 5. Nhân tử các đa thức sau

a) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-20 $
b) $(x^2 + 5x+6)(x^2 -15x+56)-144 $
c) $x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
d) $(x^2-11x+28)(x^2-7x+10)-72$
c) $(x^2+x-2)(x^2+9x+18) – 28$