Dạng Toán Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Phụ Thuộc Là Dạng Toán Mở Trong Kỳ Thi THPT Quốc Gia. Dạng toán này học sinh thường ra để lấy điểm nên học sinh phải nắm vững kĩ năng, kiến ​​thức và đảm bảo dạng toán này. Viết phương trình tiếp tuyến thường có dạng: phương trình tiếp tuyến tại điểm, phương trình tiếp tuyến qua điểm, phương trình tiếp tuyến khi biết tham số góc k, phương trình tiếp tuyến với tham số m. Nội dung sau.Các em thấy : có phương song song với tiếp tuyến

Mục lục

Các dạng toán về phương trình tiếp tuyến

Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ý nghĩa hình học của phái sinh: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc m tiếp tuyến với hệ số góc của đồ thị (C) tại điểm M(x0, y0).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của điểm M(x0, y0) tại (C) là y = y” ( x0 ) ( x – x0 ) + y0 . Quy tắc chung để lập phương trình tiếp tuyến là ta cần tìm mối quan hệ. Tọa độ x0.

Các dạng toán về phương trình tiếp tuyến

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Tiếp tuyến tại tiếp điểm

Phương pháp:

vấn đề: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0, y0).

phương pháp giải quyết:

Bước 1. Tính đạo hàm y’ = f ( x ). Từ đó trừ đi tham số tiếp tuyến k = y” ( x0 ). Bước 2: Công thức lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M ( x0, y0 ) là :y = y ” ( x0 ) ( x – x0 ) + y0 . Chú ý :– Nếu hoành độ của quan hệ x0 là bài toán thì y = f ( x0 ) Tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm số .– Nếu bài toán là tọa độ của quan hệ y0 , thì tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm số y = f ( x0 ) : y = ax + b. Khi đó tọa độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình giao điểm (c) và d. Phương trình tọa độ của giao điểm ( C ) và d có dạng f ( x ) = ax + b . Cụ thể: Ox y = 0 trên trục hoành và Oy x = 0 trên trục tung.Dùng máy tính bỏ túi:Nhận xét : Dùng máy tính bỏ túi để lập phương trình tiếp tuyến tại một điểm là một cách giúp giảm bớt các bước tính toán thủ công. Sử dụng máy tính giúp trẻ theo dõi nhanh và chính xác hơn. Ngoài ra, trong thi trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay là chiến thuật được nhiều giáo viên và học sinh lựa chọn.

ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị phụ thuộc (C); y = x3 + 2×2 t ại điểm M(1;3).

Quà:

Cách 1: Ta có y’ = 3×2 + 4x => k = y”(1) = 3.12 + 4.1 = 7.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( 1 ; 3 ) là :d : y = y ‘ 0 ( x – x0 ) + y0 y = 7. ( x – 1 ) + 3 y = 7 x – 4 . phương trình tiếp theo là đường đi cần thiết y = 7 x – 4 là

Cách 2: Sử dụng máy tính xách tay.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) tại M là y = 7 x – 4 .

Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C):

và có tích phân – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M.

Quà:

Cách 1:

Ta có: x0 = – 1. y0 = y ( – 1 ) = 1/2 vàPhương trình tiếp tuyến tại M là:Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – ( 3 x / 4 ) – 1/4 .

Cách 2: Sử dụng máy tính xách tay.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – ( 3 x / 4 ) – 1/4 .

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm (C) với trục hoành của hàm số (C): y = x4 – 2×2.

Quà:

Cách 1:

Ta có: 4×3 – 4 x = 4 x. ( x2 – 1 ) Giao điểm của đồ thị phụ thuộc ( c ) với ax trên trục hoành:Bây giờ bài toán được chuyển thành viết phương trình tiếp tuyến tại điểm (0) ; 0 ) với tham số góc k = 0 : y = 0 .+và=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (√ 2 ; 0 ) với tham số góc k = 4 √ 2 là:+ vớiVà=> phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ ( – √ 2 ; 0 ) với tham số góc k = – 4 √ 2 là:Vậy giao điểm của đồ thị ( C ) với trục hoành có 3 tiếp tuyến là : y = 0, y = 4 √ 2 x – 8 và y = – 4 √ 2 x – 8 .

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

Biết tiếp tuyến tại điểm A ( xA ; yA ), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ).

Cách 1: Sử dụng trạng thái tiếp xúc của hai đồ thị

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A ( xA ; yA ) với tham số góc k có dạng : d : y = k ( x – xA ) + yAimager_17_17480_700-4580329

Có nghiệm Bước 3. Giải hệ phương trình trên, tìm x, tìm k rồi thế d

vào phương trình đường thẳng ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2: Bước 1: Gọi M(x0 ; f ( x0 ) ) để tương tác. Tính tham số tiếp tuyến k = f” ( x0 ) theo x0 . Xem thêm: Tả Một Ngày Mới Bắt Đầu Trên Quê Hương Em Ngữ Văn Lớp 5, Trắc Nghiệm Văn Hay Lớp 5 Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y = f”(x0 ). ( x – x0 ) + f ( x0 ) ( * * ) . Vì điểm A ( xA ; yA ) thuộc d nên yA = f ” ( x0 ). ( xA – x0 ) + f ( x0 ). Giải phương trình trên để tìm x0. Bước 3. Thay x0 tìm được vào ( * * ), ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ:

(C): y = – 4×3 + 3x + 1 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2).

Ta có: y ‘ = – 12×2 + 3– Đường thẳng d đi qua ( – 1 ; 2 ) có tham số góc k có phương trình d: y = k ( x + 1 ) + 2Có một giải pháp, nếu chúng ta trừ k từ phương trình bên dưới cho phương trình trên, chúng ta sẽ nhận được:– 4×3 + 3 x + 1 = ( – 12×2 + 3 ) ( x + 1 ) + 2

imager_19_17480_700-8681592 x = – 1 hoặc x = 1/2 .+ với x = – 1. Thay k = – 12×2 + 3 vào phương trình, ta được k bằng – 9. Tìm phương trình tiếp tuyến với y = – 9 x – 7.+ x = 50%. Thay k = – 12×2 + 3 vào phương trình, ta được k bằng 0. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2. Do đó đồ thị ( C ) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ). 2) là y = – 9 x – 7 và y = 2 .

Viết phương trình tiếp tuyến (C) của đồ thị:

imager_20_17480_700-4101527

Điểm A đi qua ( – 1 ; 4 ).Điều kiện: x khả vi – 1. Ta có:Đường thẳng (d) đi qua điểm A ( – 1 ; 4 ) có tham số góc k có phương trình: y = k ( x + 1 ) + 4 . Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm:imager_23_17480_700-2313035So với các điều kiện khác kèm theo x – 1 thì nghiệm x = – 1 (loại), nghiệm x = – 4 (lấy). với x = – 4 =>

là phương trình của tiếp tuyến

imager_26_17480_700-7772021

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k Phương pháp:

Vấn đề:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp giải:

Bước 1. Gọi hệ thức M ( x0 ; y0 ) y’ = f ” ( x ) Bước 2. Tính hệ số của tiếp tuyến k = f ” ( x0 ). Khi giải phương trình này ta tìm được x0 rồi thế vào hàm để tìm được y0. Bước 3. Với mỗi quan hệ ta tìm được các tiếp tuyến có dạng sau: d: y = y ‘ 0. ( x – x0 ) + y0 .– Tiếp tuyến d / / Đường thẳng Δ : y = ax + b => k = a .Tổng quát: Phương trình của tiếp tuyến d / / Tham số góc của đường thẳng đã cho k = a . Sau khi lập được phương trình tiếp theo các bạn nhớ kiểm tra xem tiếp tuyến có phải là d hay không. Nếu chúng khớp nhau, chúng sẽ không nhận được hiệu ứng đó.

imager_27_17480_700-6366221

Tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước– Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng Δ : y = ax + b => k. a = – 1 => k = – ( 1 / a ). Tổng quát: Phương trình tiếp tuyến d vuông góc với một đường thẳng cho trước là tham số góc k = – ( 1 / k ).

imager_28_17480_700-7114645

Tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước

– Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα . Thông thường: Δ tiếp tuyến với đường thẳng: y = ax + b hợp một góc α thì:

imager_29_17480_700-6750879

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc 9.Ta có: y’ = 3×2 – 3. Gọi M( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Tham số góc tiếp tuyến k = y” ( x0 )+ x0 = 2 => y0 = (23 ) – 3.2 + 2 = 4+ x0 = – 2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 ( – 2 ; 0 ) Phương trình tiếp tuyến d2 tại M2 :

imager_32_17480_700-6352937

Kết luận: Đồ thị của hàm số ( C ) có 2 tiếp tuyến có tham số góc bằng 9 là ( d1 ) : y = 9 x – 14 và ( d2 ) : y = 9 x + 18 .

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với tham số m

Phương pháp:Dựa vào điều kiện kèm theo của bài toán và các dạng toán trên ta phải lập luận để tìm tham số m thỏa yêu cầu của bài toán.

Ví dụ

: Cho hàm số y = x3 – 3×2 cùng với đồ thị của hàm số (C). Gọi M là một điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x=1. Tìm giá trị của m sao cho tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – . 1.TXĐ: D = R Ta có: y ‘ = 3×2 – 6 ximager_34_17480_700-6363621

imager_35_17480_700-2843702

imager_38_17480_700-2049925