Tính giá trị của biểu thức chứa căn - Học Toán 123

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

– Căn bậc hai của 1 số ít a không âm là số USD x USD sao cho $ { { x } ^ { 2 } } ~ = text { } a $ .
Số USD a > 0 $ có hai căn bậc hai là $ sqrt { a } $ và USD – sqrt { a } $, trong đó $ sqrt { a } $ được gọi là căn bậc hai số học của a .
– Căn bậc ba của một số ít thực a là số USD x USD sao cho $ { { x } ^ { 3 } } = text { } a $, kí hiệu USD x = sqrt [ 3 ] { a } $ .

– Phép khai phương đơn giản:

USD sqrt { { { { A } ^ { 2 } } } } = | A | $ ( với $ forall A $ )
USD sqrt { { AB } } = sqrt { A } cdot sqrt { B } $ ( với $ A, B ge 0 $ )
USD sqrt { { dfrac { A } { B } } } = dfrac { { sqrt { A } } } { { sqrt { B } } } $ ( với ∀ $ { A, B } $ )
USD sqrt [ 3 ] { { AB } } = sqrt [ 3 ] { A } cdot sqrt [ 3 ] { B } $ ( với $ A ge 0 ; B > 0 $ )
USD sqrt [ 3 ] { { dfrac { A } { B } } } = dfrac { { sqrt [ 3 ] { A } } } { { sqrt [ 3 ] { B } } } $ ( với ∀ $ B ne 0 $ )

VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI

Ví dụ 1: Tính:

a ) Căn bậc hai của 100
b ) $ sqrt { 16 + 9 } $
c ) $ sqrt [ 3 ] { 64 } $
d ) $ sqrt { 16.9 } $

Giải:

a ) Căn bậc hai của 100 bằng 10 .
b ) $ sqrt { 16 + 9 } = sqrt { 25 } = sqrt { 5 ^ { 2 } } = 5 USD
c ) $ sqrt [ 3 ] { 64 } = sqrt [ 3 ] { 4 ^ { 3 } } = 4 USD
d ) $ sqrt { 16.9 } = sqrt { 4 ^ { 2 } cdot 3 ^ { 2 } } = sqrt { ( 4.3 ) ^ { 2 } } = 4.3 = 12 USD

Ví dụ 2: Tính:

a ) $ sqrt { 810.40 } $
b ) $ sqrt { dfrac { 12 ^ { 5 } } { 3 ^ { 5 } cdot 4 ^ { 3 } } } $
c ) $ dfrac { sqrt { 180 } : sqrt { 5 } } { sqrt { 200 } } : sqrt { 8 } $
d ) $ dfrac { sqrt [ 3 ] { 8 } + sqrt [ 3 ] { 27.125 } } { sqrt [ 3 ] { 500.2 } } $

Giải:

a ) $ sqrt { 810.40 } = sqrt { 81.10. 40 } = sqrt { 81.400 } $
USD = sqrt { 9 ^ { 2 } cdot 20 ^ { 2 } } = sqrt { ( 9.20 ) ^ { 2 } } = 9.20 = 180 USD
b ) $ sqrt { dfrac { 12 ^ { 5 } } { 3 ^ { 5 } cdot 4 ^ { 3 } } } = sqrt { dfrac { 3 ^ { 5 } cdot 4 ^ { 5 } } { 3 ^ { 5 } cdot 4 ^ { 3 } } } = sqrt { 4 ^ { 2 } } = 4 USD
c ) $ dfrac { sqrt { 180 } : sqrt { 5 } } { sqrt { 200 } } : sqrt { 8 } = dfrac { sqrt { 180 : 5 } } { sqrt { 200 : 8 } } = dfrac { sqrt { 36 } } { sqrt { 25 } } = dfrac { sqrt { 6 ^ { 2 } } } { sqrt { 5 ^ { 2 } } } = dfrac { 6 } { 5 } $
d ) $ dfrac { { sqrt [ 3 ] { 8 } + sqrt [ 3 ] { { 27.125 } } } } { { sqrt [ 3 ] { { 500.2 } } } } = dfrac { { sqrt [ 3 ] { { { { 2 } ^ { 3 } } } } + sqrt [ 3 ] { { { { 3 } ^ { 3 } } { { {. 5 } } ^ { 3 } } } } } } { { sqrt [ 3 ] { { 1000 } } } } = dfrac { { 2 + 3.5 } } { { 10 } } = dfrac { { 17 } } { { 10 } } $

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức

a ) $ sqrt { ( 1 – sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } – sqrt { 3 + 2 sqrt { 2 } } + sqrt { ( – 2 ) ^ { 6 } } $
b ) $ sqrt { 7 + 4 sqrt { 3 } } + sqrt { 13-4 sqrt { 3 } } $
c ) $ sqrt [ 3 ] { 5 sqrt { 2 } – 7 } – sqrt [ 3 ] { 5 sqrt { 2 } + 7 } $
d ) $ sqrt [ 3 ] { 2 + sqrt { 5 } } + sqrt [ 3 ] { 2 – sqrt { 5 } } $

Giải:

a ) $ sqrt { ( 1 – sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } – sqrt { 3 + 2 sqrt { 2 } } + sqrt { ( – 2 ) ^ { 6 } } $
USD = sqrt { ( 1 – sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } – sqrt { 2 + 2 sqrt { 2 } + 1 } + sqrt { ( – 2 ) ^ { 6 } } $
USD = sqrt { ( 1 – sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } – sqrt { ( 1 + sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } + sqrt { ( – 2 ) ^ { 6 } } $
USD = | 1 – sqrt { 2 } | – | 1 + sqrt { 2 } | + left | ( – 2 ) ^ { 3 } right | $
USD = sqrt { 2 } – 1 – ( 1 + sqrt { 2 } ) + 8 USD
USD = sqrt { 2 } – 1-1 – sqrt { 2 } + 8 USD
USD = 6 USD
b ) $ sqrt { 7 + 4 sqrt { 3 } } + sqrt { 13-4 sqrt { 3 } } $
USD = sqrt { 3 + 2 cdot sqrt { 3 } cdot 2 + 4 } + sqrt { ( 2 sqrt { 3 } ) ^ { 2 } – 2 cdot 2 sqrt { 3 } cdot 1 + 1 } $
USD = sqrt { ( sqrt { 3 } + 2 ) ^ { 2 } } + sqrt { ( 2 sqrt { 3 } – 1 ) ^ { 2 } } $
USD = | sqrt { 3 } + 2 | + | 2 sqrt { 3 } – 1 | $
USD = sqrt { 3 } + 2 + 2 sqrt { 3 } – 1 USD
USD = 3 sqrt { 3 } + 1 USD
c ) $ sqrt [ 3 ] { 5 sqrt { 2 } – 7 } – sqrt [ 3 ] { 5 sqrt { 2 } + 7 } $
USD = sqrt [ 3 ] { 2 sqrt { 2 } – 3.2 cdot 1 + 3 cdot sqrt { 2 } cdot 1-1 } – sqrt [ 3 ] { 2 sqrt { 2 } + 3 cdot 2 cdot 1 + 3 cdot sqrt { 2 } cdot 1 + 1 } $
USD = sqrt [ 3 ] { ( sqrt { 2 } – 1 ) ^ { 3 } } – sqrt [ 3 ] { ( sqrt { 2 } + 1 ) ^ { 3 } } $
USD = sqrt { 2 } – 1 – ( sqrt { 2 } + 1 ) USD
USD = – 2 USD
d ) $ sqrt [ 3 ] { 2 + sqrt { 5 } } + sqrt [ 3 ] { 2 – sqrt { 5 } } $
USD = dfrac { 1 } { 2 } cdot ( 2 cdot sqrt [ 3 ] { 2 + sqrt { 5 } } + 2 sqrt [ 3 ] { 2 – sqrt { 5 } } ) USD
USD = dfrac { 1 } { 2 } cdot ( sqrt [ 3 ] { 16 + 8 sqrt { 5 } } + sqrt [ 3 ] { 16-8 sqrt { 5 } } ) USD
USD = dfrac { 1 } { 2 } cdot ( sqrt [ 3 ] { 5 sqrt { 5 } + 3.5 cdot 1 + 3 cdot sqrt { 5 } cdot 1 + 1 } + sqrt [ 3 ] { 5 sqrt { 5 } – 3 cdot 5 cdot 1 + 3 cdot sqrt { 5 } cdot 1-1 } ) USD
USD = dfrac { 1 } { 2 } cdot ( sqrt [ 3 ] { ( sqrt { 5 } + 1 ) ^ { 3 } } + sqrt [ 3 ] { ( sqrt { 5 } – 1 ) ^ { 3 } } ) USD
USD = dfrac { 1 } { 2 } cdot ( sqrt { 5 } + 1 + sqrt { 5 } – 1 ) USD
USD = dfrac { 1 } { 2 } cdot 2 sqrt { 5 } = sqrt { 5 } $

Tham Khảo Thêm: Lý thuyết Quá trình nhân đôi ADN - Trắc nghiệm Sinh học

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức $ Q=dfrac{1}{{sqrt{{x+3}}cdot sqrt{{x-3}}}}+sqrt{{{{x}^{2}}+7x+4}}$ tại $ x=5$

Giải:

Tại USD x = 5 $ ta có :
USD begin { aligned } mathrm { Q. } và = dfrac { 1 } { sqrt { 5 + 3 } cdot sqrt { 5-3 } } + sqrt { 5 ^ { 2 } + 7.5 + 4 } và = dfrac { 1 } { sqrt { 8 } cdot sqrt { 2 } } + sqrt { 64 } và = dfrac { 1 } { sqrt { 8.2 } } + 8 và = dfrac { 1 } { 4 } + 8 = dfrac { 33 } { 8 } end { aligned } $

BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1: Căn bậc hai số học của 64 là:

A. 8 B. – 8 C. 32 D. – 32

Giải:

Căn bậc hai số học của 64 là 8 vì 82 = 64 .
⇒ Chọn đáp án A .

Bài 2: Căn bậc ba của -27 là:

A. 3 B. 9 C. – 9 D. – 3 .

Giải:

Căn bậc ba của – 27 là – 3 vì ( – 3 ) 3 = – 27 .
⇒ Chọn đáp án D .

Bài 3: Giá trị biểu thức $3 sqrt{5}-sqrt{(1-sqrt{5})^{2}}$ bằng:

USD begin { array } { llll } text { A. } – 1 + 4 sqrt { 5 } và text { B. } 1 + 2 sqrt { 5 } và text { C. } 1-4 sqrt { 5 } và text { D. } sqrt { 5 } – 1 end { array } $

Giải:

USD 3 sqrt { 5 } – sqrt { ( 1 – sqrt { 5 } ) ^ { 2 } } = 3 sqrt { 5 } – | 1 – sqrt { 5 } | $
USD = 3 sqrt { 5 } – ( sqrt { 5 } – 1 ) = 3 sqrt { 5 } – sqrt { 5 } + 1 = 2 sqrt { 5 } + 1 USD
⇒ Chọn đáp án B .

Bài 4: Kết quả của phép tính $ sqrt{7-2 sqrt{10}}-sqrt{7+2 sqrt{10}}$ là:

USD begin { array } { llll } text { A. } 2 sqrt { 2 } và text { B. } – 2 sqrt { 2 } và text { C. } 2 sqrt { 5 } và text { D. } – 2 sqrt { 5 } end { array } $

Giải:

USD sqrt { 7-2 sqrt { 10 } } – sqrt { 7 + 2 sqrt { 10 } } $
USD = sqrt { 5-2 cdot sqrt { 2 } cdot sqrt { 5 } + 2 } – sqrt { 5 + 2 cdot sqrt { 5 } cdot sqrt { 2 } + 5 } $
USD = sqrt { ( sqrt { 5 } – sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } – sqrt { ( sqrt { 5 } + sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } $

$=|sqrt{5}-sqrt{2}|-|sqrt{5}+sqrt{2}|$

USD = ( sqrt { 5 } – sqrt { 2 } ) – ( sqrt { 5 } + sqrt { 2 } ) USD
USD = – 2 sqrt { 2 } $
⇒ Chọn đáp án B .

Tham Khảo Thêm: Tia hồng ngoại là gì? Đặc điểm và những ứng dụng trong cuộc sống

Bài 5: Giá trị biểu thức $ sqrt{x^{2}+2 sqrt{x^{2}-1}}-sqrt{x^{2}-2 sqrt{x^{2}-1}}$ tại $ x=4$ là:

USD begin { array } { llll } text { A. } 2 sqrt { 15 } và text { B. } – 2 sqrt { 15 } và text { C. } 2 và text { D. } – 2. end { array } $

Giải:

Tại USD x = 4 $ thì :
USD sqrt { x ^ { 2 } + 2 sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } – sqrt { x ^ { 2 } – 2 sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } $
USD = sqrt { 4 ^ { 2 } + 2 sqrt { 4 ^ { 2 } – 1 } } – sqrt { 4 ^ { 2 } – 2 sqrt { 4 ^ { 2 } – 1 } } $
USD = sqrt { 16 + 2 sqrt { 15 } } – sqrt { 16-2 sqrt { 5 } } $
USD = sqrt { 15 + 2 sqrt { 15 } + 1 } – sqrt { 15-2 sqrt { 15 } + 1 } $
USD = sqrt { ( sqrt { 15 } + 1 ) ^ { 2 } } – sqrt { ( sqrt { 15 } – 1 ) ^ { 2 } } $
USD = | sqrt { 15 } + 1 | – | sqrt { 15 } – 1 | $
USD = ( sqrt { 15 } + 1 ) – ( sqrt { 15 } – 1 ) USD
USD = 2 USD
⇒ Chọn đáp án C .

Bài 6: Viết các biểu thức sau thành bình phương của biểu thức khác:

USD begin { array } { lll } text { a ) } 4-2 sqrt { 3 } và text { b ) } 7 + 4 sqrt { 3 } và text { c ) } 13-4 sqrt { 3 } end { array } $

Giải:

a ) $ 4-2 sqrt { 3 } = 3-2 sqrt { 3 } + 1 = ( sqrt { 3 } – 1 ) ^ { 2 } $
b ) USD 7 + 4 sqrt { 3 } = 4 + 2 cdot 2 cdot sqrt { 3 } + 3 = ( 2 + sqrt { 3 } ) ^ { 2 } $
c ) $ 13-4 sqrt { 3 } = ( 2 sqrt { 3 } ) ^ { 2 } – 2 cdot 2 sqrt { 3 } + 1 = ( 2 sqrt { 3 } – 1 ) ^ { 2 } $

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức:

a ) $ A = sqrt { 4.8. 16. 32 } $
b ) $ mathrm { B } = sqrt { dfrac { 3 } { 15 } } : sqrt { dfrac { 36 } { 45 } } $
c ) USD C = sqrt [ 3 ] { – 0,5 } sqrt [ 3 ] { 1,25 } cdot sqrt [ 3 ] { dfrac { 16 } { 10 } } $

Giải:

a )
USD A = sqrt { 4.8. 16. 32 } = sqrt { 2 ^ { 2 }. 2 ^ { 3 } cdot 2 ^ { 4 } cdot 2 ^ { 5 } } $

$=sqrt{2^{14}}=sqrt{left(2^{7}right)^{2}}=2^{7}=128$
b)

USD mathrm { B } = sqrt { dfrac { 3 } { 15 } } : sqrt { dfrac { 36 } { 45 } } = sqrt { dfrac { 3 } { 15 } : dfrac { 36 } { 45 } } $

$=sqrt{dfrac{3}{15} cdot dfrac{45}{36}}=sqrt{dfrac{1}{4}}=sqrt{left(dfrac{1}{2}right)^{2}}=dfrac{1}{2}$
c)

USD C = sqrt [ 3 ] { – 0,5 } sqrt [ 3 ] { 1,25 } sqrt [ 3 ] { dfrac { 16 } { 10 } } = sqrt [ 3 ] { ( – 0,5 ) cdot 1,25 cdot dfrac { 16 } { 10 } } $
USD = sqrt [ 3 ] { dfrac { – 1 } { 2 } cdot dfrac { 5 } { 4 } cdot dfrac { 16 } { 10 } } = sqrt [ 3 ] { – 1 } = – 1 USD

Bài 8: Rút gọn các biểu thức:

a ) $ dfrac { sqrt { 7 } + sqrt { 5 } } { sqrt { 7 } – sqrt { 5 } } + dfrac { sqrt { 7 } – sqrt { 5 } } { sqrt { 7 } + sqrt { 5 } } $
b ) $ sqrt { dfrac { 3 + sqrt { 5 } } { 3 – sqrt { 5 } } } + sqrt { dfrac { 3 – sqrt { 5 } } { 3 + sqrt { 5 } } } $
c ) $ dfrac { 2 } { sqrt { 3 } + 1 } – dfrac { 1 } { sqrt { 3 } – 2 } + dfrac { 6 } { sqrt { 3 } + 3 } $

Giải:

a ) $ dfrac { sqrt { 7 } + sqrt { 5 } } { sqrt { 7 } – sqrt { 5 } } + dfrac { sqrt { 7 } – sqrt { 5 } } { sqrt { 7 } + sqrt { 5 } } = dfrac { ( sqrt { 7 } + sqrt { 5 } ) ^ { 2 } + ( sqrt { 7 } – sqrt { 5 } ) ^ { 2 } } { ( sqrt { 7 } + sqrt { 5 } ) ( sqrt { 7 } – sqrt { 5 } ) } $
USD = dfrac { 12 + 2 sqrt { 35 } + 12-2 sqrt { 35 } } { 7-5 } $
USD = dfrac { 24 } { 2 } = 12 USD
b ) $ sqrt { dfrac { 3 + sqrt { 5 } } { 3 – sqrt { 5 } } } + sqrt { dfrac { 3 – sqrt { 5 } } { 3 + sqrt { 5 } } } = dfrac { sqrt { 3 + sqrt { 5 } } } { sqrt { 3 – sqrt { 5 } } } + dfrac { sqrt { 3 – sqrt { 5 } } } { sqrt { 3 + sqrt { 5 } } } $
USD = dfrac { ( sqrt { 3 + sqrt { 5 } } ) ^ { 2 } + ( sqrt { 3 – sqrt { 5 } } ) ^ { 2 } } { sqrt { 3 – sqrt { 5 } cdot sqrt { 3 + sqrt { 5 } } } } $
USD = dfrac { 3 + sqrt { 5 } + 3 – sqrt { 5 } } { sqrt { 4 } } $
USD = dfrac { 6 } { 2 } = 3 USD
c ) $ dfrac { 2 } { sqrt { 3 } + 1 } – dfrac { 1 } { sqrt { 3 } – 2 } + dfrac { 6 } { sqrt { 3 } + 3 } $
USD = dfrac { 2 } { sqrt { 3 } + 1 } – dfrac { 1 } { sqrt { 3 } – 2 } + dfrac { 2 sqrt { 3 } cdot sqrt { 3 } } { sqrt { 3 } ( sqrt { 3 } + 1 ) } $
USD = dfrac { 2 } { sqrt { 3 } + 1 } – dfrac { 1 } { sqrt { 3 } – 2 } + dfrac { 2 sqrt { 3 } } { sqrt { 3 } + 1 } $
USD = dfrac { 2 + 2 sqrt { 3 } } { sqrt { 3 } + 1 } – dfrac { 1 } { sqrt { 3 } – 2 } $
USD = 2 – dfrac { 1 } { sqrt { 3 } – 2 } $
USD = dfrac { 2 sqrt { 3 } – 4-1 } { sqrt { 3 } – 2 } $
USD = dfrac { 2 sqrt { 3 } – 5 } { sqrt { 3 } – 2 } $
USD = dfrac { ( 2 sqrt { 3 } – 5 ) ( sqrt { 3 } + 2 ) } { ( sqrt { 3 } – 2 ) ( sqrt { 3 } + 2 ) } $
USD = dfrac { – 4 – sqrt { 3 } } { – 1 } = 4 + sqrt { 3 } $

Tham Khảo Thêm: Sinh Năm 2001 Mệnh Gì? Tuổi Tân Tỵ Mệnh Gì Năm 2001 Mệnh Gì

Bài 9: Tính:

a ) $ sqrt { 4 + 2 sqrt { 3 } } $
b ) $ sqrt { 5 – sqrt { 13 + sqrt { 48 } } } $
c ) $ sqrt { sqrt { 5 } – sqrt { 3 – sqrt { 29-12 sqrt { 5 } } } } $

Giải:

a ) $ sqrt { 4 + 2 sqrt { 3 } } = sqrt { 3 + 2 cdot sqrt { 3 } cdot 1 + 1 } = sqrt { ( sqrt { 3 } + 1 ) ^ { 2 } } = sqrt { 3 } + 1 USD
b ) $ sqrt { 5 – sqrt { 13 + sqrt { 48 } } } = sqrt { 5 – sqrt { 13 + 4 sqrt { 3 } } } $
USD = sqrt { 5 – sqrt { ( 2 sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 2.2 sqrt { 3 } + 1 } } $
USD = sqrt { 5 – sqrt { ( 2 sqrt { 3 } + 1 ) ^ { 2 } } } = sqrt { 5 – ( 2 sqrt { 3 } + 1 ) } $
USD = sqrt { 4-2 sqrt { 3 } } $
USD = sqrt { 3-2 sqrt { 3 } + 1 } = sqrt { ( sqrt { 3 } – 1 ) ^ { 2 } } = | sqrt { 3 } – 1 | $
USD = sqrt { 3 } – 1 USD
USD sqrt { 29-12 sqrt { 5 } } = sqrt { 20-2 cdot 2 sqrt { 5 } cdot 3 + 9 } $
Ta có :
USD sqrt { 29-12 sqrt { 5 } } = sqrt { 20-2. 2 sqrt { 5 }. 3 + 9 } $
USD = sqrt { ( 2 sqrt { 5 } – 3 ) ^ { 2 } } = | 2 sqrt { 5 } – 3 | = 2 sqrt { 5 } – 3 $
Do đó :
USD begin { aligned } sqrt { sqrt { 5 } – sqrt { 3 – sqrt { 29-12 sqrt { 5 } } } } và = sqrt { sqrt { 5 } – sqrt { 3 – ( 2 sqrt { 5 } – 3 ) } } và = sqrt { sqrt { 5 } – sqrt { 6-2 sqrt { 5 } } } và = sqrt { sqrt { 5 } – sqrt { 5-2 sqrt { 5 } + 1 } } và = sqrt { sqrt { 5 } – sqrt { ( sqrt { 5 } – 1 ) ^ { 2 } } } và = sqrt { { sqrt { 5 } – left | { sqrt { 5 } – 1 } right | } } và = sqrt { sqrt { 5 } – ( sqrt { 5 } – 1 ) } và = sqrt { 1 } = 1 end { aligned } $

Bài 10: Rút gọn biểu thức $A=sqrt{15+sqrt{60}+sqrt{140}+sqrt{84}}$

Giải:

Ta thấy :
USD sqrt { 60 } = 2 sqrt { 15 } = 2 sqrt { 5 } cdot sqrt { 3 } $
USD sqrt { 140 } = 2 sqrt { 35 } = 2 sqrt { 5 } cdot sqrt { 7 } $
USD sqrt { 84 } = 2 sqrt { 21 } = 2 sqrt { 7 } cdot sqrt { 3 } $
Và USD 15 = 3 + 5 + 7 USD
Áp dụng hằng đẳng thức :
USD a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 a b + 2 b c + 2 c a = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } $

$A=sqrt{15+sqrt{60}+sqrt{140}+sqrt{84}}$

USD = sqrt { 3 + 5 + 7 + 2 sqrt { 3 } cdot sqrt { 5 } + 2 cdot sqrt { 5 } cdot sqrt { 7 } + 2 cdot sqrt { 3 } cdot sqrt { 7 } } $
USD = sqrt { ( sqrt { 3 } + sqrt { 5 } + sqrt { 7 } ) ^ { 2 } } $
USD = sqrt { 3 } + sqrt { 5 } + sqrt { 7 } $