Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm
M đến đường thẳng d là: d(M; d) =

+ Cho điểm A ( xA ; yA ) và điểm B ( xB ; yB ). Khoảng cách hai điểm này là :

AB =

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x – 4y – 21 = 0 là:

A. 1
   B. 2
   C.
   D.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a ) là :

d(M;a) =
=

Chọn D.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d:
= 1 là:

A. 4,8
   B.
   C. 1
   D. 6

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d:
= 1 ⇔ 8x + 6y – 48 = 0

⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :

d( O; d) =
= 4,8

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng

là:

A. 2
   B.
   C.
   D.

Hướng dẫn giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát :

(d) :

⇒ Phương trình ( d ) : 4 ( x – 1 ) – 3 ( y – 2 ) = 0 hay 4 x – 3 y + 2 = 0+ Khoảng cách từ điểm M đến d là :

d( M; d) =
= 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng

(d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:

A. R = 4
   B. R = 6
   C. R = 8
   D. R = 10

Lời giải

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C ) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là nửa đường kính R của đường tròn

⇒ R= d(O; d) =
= 10

Chọn D.

Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 bằng:

A.
   B. 1
   C.
   D.

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là :

d( M; d) =
=

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x – 3y + 4 = 0 và
(b):
2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10
   B.
   C.
   D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a ) và ( b ) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) =
=

Chọn C

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A.
   B. 3
   C.
   D.

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC :

⇒ ( BC ) : 3 ( x – 0 ) + 4 ( y – 3 ) = 0 hay 3 x + 4 y – 12 = 0⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC .

d( A; BC) =
=

Chọn A.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1). Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10
   B. 5
   C. √26
   D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC :

⇒ Phương trình BC : 2 ( x – 1 ) + 1 ( y – 5 ) = 0 hay 2 x + y – 7 = 0

⇒ d( A;BC) =
= √5

+ BC =
= 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S =
.d( A; BC).BC =
.√5.2√5 = 5

Chọn B.

Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x – 3y + 5 = 0 và
d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1.
   B. 2
   C. 3
   D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên .⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A ( 2 ; 1 ) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích quy hoạnh hình chữ nhật bằng

S =
= 2 .

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Khoảng cách từ điểm M( 2;0) đến đường thẳng

là:

A. 2
   B.
   C.
   D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát :

(d) :

=> Phương trình ( d ) : 4 ( x – 1 ) – 3 ( y – 2 ) = 0 hay 4 x – 3 y + 2 = 0 .+ Khi đó khoảng cách từ M đến d là :

d(M, d)=
= 2

Câu 2: Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng

d: 5x + 12y – 10 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C) bằng:

A. R =
   B. R =
   C. R = 44
   D. R =

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C ) nên khoảng cách từ tâm đường tròn ( C ) đến đường thẳng d chính là nửa đường kính đường tròn .

=> R = d(I; d) =
=

Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x – 3y + 5 = 0
và
(b) : 3x + 4y – 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Ta thấy : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên .Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A đến hai đường thẳng trên .

Độ dài 2 cạnh là: d( A; a) =
= 2; d(A; b) =
= 1

do đó diện tích quy hoạnh hình chữ nhật bằng : S = 2.1 = 2

Câu 4: Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?

A. 3
   B.
   C.
   D. 147

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng AC:

=> Phương trình AC : 1 ( x – 2 ) + 0. ( y + 1 ) = 0 hay x – 2 = 0 ..

+ Độ dài AC =
= 3 và khoảng cách từ B đến AC là:

d(B; AC) =
= 2

=> Diện tích tam giác ABC là : S =
AC.d( B;AC) =
.3.2 = 3 .

Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng

gần với số nào sau đây ?

A. 0, 85
   B. 0,9
   C. 0,95
   D. 1

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát :

(d):

=> ( d ) : 2 ( x – 1 ) + 1 ( y – 3 ) = 0 hay 2 x + y – 5 = 0

=> d(A, d) =
≈ 0,894

Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x – 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0
đỉnh A(2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là

A. 6
   B. 2
   C. 3
   D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 4x – 3y + 5 = 0 là
= 2

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là
= 3

=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6

Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)

A. 6
   B. 4,5
   C. 3
   D. 9

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đường thẳng AB:

=> Phương trình AB : 2 ( x – 1 ) – 1 ( y + 2 ) = 0 hay 2 x – y – 4 = 0

+ độ dài đoạn AB: AB =
= √5

Khoảng cách từ D đến AB: d( D; AB)=
=

=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d( D; AB) = √5.
= 9

Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y – 2 = 0 và

( ∆) : 2x + 3y – 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x – 4y + 11 = 0

A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và ∆ là nghiệm hệ phương trình

=> A( 1; 1)

+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( d ’ ) là :

d( A; d’) =
= 2

Chuyên đề Toán 10 : khá đầy đủ kim chỉ nan và các dạng bài tập có đáp án khác :
Đã có giải thuật bài tập lớp 10 sách mới :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp
Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học