மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையின் அடிப்படை சூத்திரம்:
$intlimits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx} = intlimits_alpha ^beta {f(u)du} $ உடன் $α = u(a)$ மற்றும் $β = u(b).$
அங்கிருந்து, பின்வரும் மாறிகளை மாற்றுவதற்கு இரண்டு முறைகள் உள்ளன:
படிவம் 1 இன் மாறியை மாற்றுவதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுதல்
ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட: $I = intlimits_a^b {g(x)dx} $ பின்வரும் படிகளைச் செய்கிறோம்:
படி 1: மாறியைத் தேர்ந்தெடு:
+ பகுப்பாய்வு $g(x)dx = f[u(x)]u'(x)dx$ $= f[u(x)]ஈ[u(x)].$
+ அமை $u = u(x).$
படி 2: எல்லை மாற்றத்தைச் செய்யவும்:
+ உடன் $x = a$, பின்னர் $u = u(a).$
+ உடன் $x = b$ பிறகு $u = u(b).$
படி 3: பிறகு: $intlimits_a^b {g(x)dx} $$ = intlimits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} .$
எடுத்துக்காட்டு 1: பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடவும்:
அ. $intlimits_0^1 {{x^3}{{(1 + {x^4})}^3}dx} .$
பி. $intlimits_0^1 {frac{{5xdx}}{{{{({x^2} + 4)}^2}}}} .$
அ. $u = 1 + x^4$ என அமைக்கவும், $du = 4x^3dx.$ஐக் கழிக்கவும்
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ பிறகு $u = 1$, $x = 1$ உடன் பிறகு $u = 2.$
அங்கிருந்து: $intlimits_0^1 {{x^3}{{(1 + {x^4})}^3}dx} $$= frac{1}{4}intlimits_1^2 {{u^3}du } $ $ = frac{1}{{16}}இடது. {{u^4}} வலது|_1^2$ $ = frac{{15}}{{16}}.$
பி. $u = x^2 + 4$ ஐ வைத்து, $du = 2xdx.$ ஐப் பெறுங்கள்
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ பிறகு $u = 4$, $x = 1$ உடன் பிறகு $u = 5.$
அங்கிருந்து: $intlimits_0^1 {frac{{5x}}{{{({x^2} + 4)}^2}}}dx} $$ = frac{5}{2}intlimits_4^5 {frac { {du}}{{{u^2}}}} $ $ = இடது. { – frac{5}{{2u}}} வலது|_4^5$ $ = frac{1}{8}.$
உதாரணம் 2: பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடவும்:
அ. $intlimits_0^{pi /6} {(1 – cos 3x)sin 3xdx} .$
பி. $intlimits_0^{pi /4} {frac{{tan x.dx}}{{{{cos }^2}x}}} .$
அ. $u = 1 – cos3x$ என அமை, $du = 3sin3x.dx.$
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ மற்றும் $u = 0$, $x = frac{6}$ உடன் பிறகு $u = 1.$
அங்கிருந்து: $intlimits_0^{frac{pi {6}} {(1 – cos 3x)sin 3xdx} $$ = frac{1}{3}intlimits_0^1 {udu} $$ = frac{1}{6 }{u^2}இடது| {_0^1} வலது.$ $ = frac{1}{6}.$
பி. $u = tanx$ ஐ வைத்து, $du = frac{{dx}}{{{{cos }^2}x}}.$
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ பிறகு $u = 0$, $x = frac{pi }{4}$ உடன் பிறகு $u = 1.$
அங்கிருந்து: $intlimits_0^{frac{pi {4}} {frac{{tan x}}{{{{cos }^2}x}}dx} $$ = intlimits_0^1 {udu} $$ = frac {1}{2}{u^2}இடது| {_0^1} வலது.$ $ = frac{1}{2}.$
எடுத்துக்காட்டு 3: பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடவும்:
அ. $intlimits_0^{sqrt 3 } {xsqrt {1 + {x^2}} dx} .$
பி. $intlimits_0^{sqrt 3 } {{x^5}sqrt {1 + {x^2}} dx.$
அ. நாம் அதை பின்வரும் வழிகளில் வழங்கலாம்:
வழி 1: $u = sqrt {{x^2} + 1} $ ஐ வைத்து, பெறவும்: $u^2 = x^2 + 1$ $⇒ 2udu = 2xdx$ $⇒ udu = xdx.$
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ மற்றும் $u = 1$, $x = சதுர 3 $ உடன் பிறகு $u = 2.$
அங்கிருந்து: $intlimits_0^{sqrt 3 } {xsqrt {1 + {x^2}} dx} $$ = intlimits_1^2 {{u^2}du} $$ = frac{1}{3}இடது. {{u^3}} வலது|_1^2$ $ = frac{7}{3}.$
வழி 2: $u = x^2 + 1$ அமை, $du = 2xdx.$
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ பிறகு $u = 1$, $x = சதுர 3 $ உடன் பிறகு $u = 4.$
அங்கிருந்து: $intlimits_0^{sqrt 3 } {xsqrt {1 + {x^2}} dx} $ $ = frac{1}{2}intlimits_1^4 {sqrt u du} $ $ = frac{1}{3 }இடது. {{u^{3/2}}} வலது|_1^4$ $ = frac{7}{3}.$
வழி 3: மாற்றத்தைச் செய்யவும்:
$intlimits_0^{sqrt 3 } {xsqrt {1 + {x^2}} dx} $ $ = frac{1}{2}intlimits_0^{sqrt 3 } {sqrt {1 + {x^2}} d(1 + {x^2})} $ $ = frac{1}{2}intlimits_0^{sqrt 3 } {{{(1 + {x^2})}^{frac{1}{2}}}d( 1 + {x^2})} $ $ = frac{1}{3}இடது. {{{(1 + {x^2})}^{3/2}}} வலது|_0^{sqrt 3 }$ $ = frac{7}{3}.$
பி. $u = சதுரம் {1 + {x^2}} $ $⇔ u^2 = 1 + x^2$ $⇔ 2udu = 2xdx.$ என அமை
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ மற்றும் $u = 1$, $x = சதுர 3 $ உடன் பிறகு $u = 2.$
பிறகு: $intlimits_0^{sqrt 3 } {{x^5}sqrt {1 + {x^2}} dx$ $ = intlimits_1^2 {{{({u^2} – 1)}^2} { u^2}} du$ $ = intlimits_1^2 {({u^6} – 2{u^4} + {u^2})} du$ $ = இடது( {frac{1}{7} u ^7} – frac{2}{5}{u^5} + frac{1}{3}{u^3}} வலது) இடது| ஆரம்பம்{வரிசை {l}
2\
முதலில்
end{array} வலது.$ $ = frac{{848}}{{105}}.$
எடுத்துக்காட்டு 4: ஒருங்கிணைக்கவும்: $I = intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{{e^{2x}} + 3}}} .$
$u = e^{2x} + 3$ ஐ வைத்து, $du = 2e^{2x}dx = 2(u – 3)dx$ $⇔ dx = frac{{du}}{2(u – 3 )} பெறவும் }.$
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ பிறகு $u = 4$, $x = 1$ உடன் பிறகு $u = e^2 + 3.$
அங்கிருந்து: $I = frac{1}{2}intlimits_4^{{e^2} + 3} {frac{{du}}{{u(u – 3)}}} $ $ = frac{1}{1} 6}intlimits_4^{{e^2} + 3} {left( {frac{1}{{u – 3}} – frac{1}{u}} right)du} $$ = frac{1}{6 }இடது. {left( {ln left| {u – 3} right| – ln left| u right|} right)} right|_4^{{e^2} + 3}$ $ = frac{1}{6}இடது. {இடது| {frac{{u – 3}}{u}} வலது|} வலது|_4^{{e^2} + 3}$ $= frac{1}{6}ln frac{{4{e^2}} }{{{e^2} + 3}}.$
படிவம் 2 இன் மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுதல்
ஒருங்கிணைக்க: $I = intlimits_a^b {f(x)dx}$, $f(x)$ செயல்பாடு $ல் தொடர்ந்து இருக்கும் எனக் கருதினால்[a; b]$, நாங்கள் பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்றுகிறோம்:
படி 1: $x = φ
உதாரணம் 5: பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடவும்:
அ. $I = intlimits_0^{1/2} {sqrt {1 – {x^2}} dx} .$
பி. $I = intlimits_2^{2/sqrt 3 } {frac{{dx}}{{xsqrt {{x^2} – 1} }}} .$
அ. இடதுபுறத்தில் $t உடன் $x = sint$ அமைக்கவும்[ { – frac{pi }{2}; frac{pi }{2}} right]$, deduce $dx = cost.dt.$
வரம்பு மாற்றம்: $x = 0$ பிறகு $t = 0$, $x = frac{1}{2}$ பிறகு $t = frac{pi }{6}.$
பிறகு: $I = intlimits_0^{pi /6} {sqrt {1 – {{sin }^2}t} .cos t.dt} $$ = intlimits_0^{pi /6} {{{cos }^2 } t.dt} $ $ = frac{1}{2} intlimits_0^{pi /6} {(1 + cos 2t).dt} $ $ = frac{1}{2} (t + frac{1}{ 2 }sin2t) விட்டு| {_0^{pi /6}} வலது.$ $ = frac{1}{2}இடது( {frac{pi }{6} + frac{{sqrt 3 }}{4}} வலது).$
மாற்று: $t ∈ உடன் $x = செலவு$ என அமைக்கவும் [0; π].$
பி. $x = frac{1}{{sin t}}$ ஐ $t உடன் இடதுபுறத்தில் ( {0; frac{pi }{2}} வலது)$ ஐ வைத்து, $dx = – frac{{cos t.dt} } {{{{பாவம் }^2}t}}.$
மாற்றம்: $x = 2$ பிறகு $t = frac{pi {6}$, $x = frac{2}{{sqrt 3 }}$ பிறகு $t = frac{pi {3}.$
பிறகு: $I = intlimits_{pi /6}^{pi /3} {frac{{ – frac{1}{{{sin }^2}t}}cos tdt}}{{frac{1}{ { sin t}}sqrt {frac{1}{{{{sin }^2}t}} – 1} }}} $ $ = – intlimits_{pi /6}^{pi /3} {dt} $$ = – விட்டு. t right|_{pi /6}^{pi /3}$ $ = – frac{pi }{6}.$
மாற்றாக: $x = frac{1}{{co{mathop{rm s}nolimits} t}}$ ஐ $t உடன் இடதுபுறத்தில் அமைக்கவும்( {0; frac{pi {2}} வலது).$
கவனம்:
அ. மேலே உள்ள தீர்வில், துணை-மறைக்கப்பட்ட $t$க்கான மதிப்புகளின் வரம்பின் தேர்வு, ஒருங்கிணைப்பின் இரண்டு எல்லைகளைப் பொறுத்தது.
பி. உருமாற்றம் $t = frac{1}{x}$ ஐ எழுதுவதன் மூலமும் பயன்படுத்தலாம்:
$I = intlimits_2^{2/sqrt 3 } {frac{{dx}}{{{x^2}sqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}}}} $$ = intlimits_ {1/2}^{sqrt 3 /2} {frac{{dt}}{{sqrt {1 – {t^2}} }}}.$
$u ∈ (0; frac{pi }{2})$ உடன் $t = sinu$ என்ற மாறியின் மாற்றத்தைத் தொடர்ந்து பயன்படுத்தினால், நமக்குக் கிடைக்கும்:
$I = intlimits_{pi /6}^{pi /3} {du} $ $ = இடது. u right|_{pi /6}^{pi /3}$ $ = frac{pi {6}.$
எடுத்துக்காட்டு 6: பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடவும்:
அ. $I = intlimits_0^1 {xsqrt {1 + {x^2}} dx} .$
பி. $I = intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} .$
அ. இடதுபுறத்தில் $x = tant$, $t என அமைக்கவும்[ { – frac{pi }{2}; frac{pi }{2}} right]$ ஊகிக்க $dx = frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}.$
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ பிறகு $t = 0$, $x = 1$ க்கு பிறகு $t = frac{pi }{4}.$
பிறகு: $I = intlimits_0^{pi /4} {tan t.sqrt {1 + {{tan }^2}t} .frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}} $ $ = – intlimits_0^{pi /4} {frac{{d(cos t)}}{{{{cos }^4}t}}} $ $ = இடது. {frac{1}{{3{{cos }^3}t}}} வலது|_0^{pi /4}$ $ = frac{{2sqrt 2 – 1}}{3}.$
பி. இடதுபுறத்தில் $x = tant$, $t என அமைக்கவும்[ { – frac{pi }{2}; frac{pi }{2}} right]$ ஊகிக்க $dx = frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}$ $= (1 + tan^{2}t)dt.$
வரம்பு மாற்றுதல்: $x = 0$ பிறகு $t = 0$, $x = 1$ க்கு பிறகு $t = frac{pi }{4}.$
பிறகு: $I = intlimits_0^{pi /4} {frac{{(1 + {{tan }^2}t)dt}}{{{tan }^2}t + 1}}} $$ = intlimits_0 ^{pi /4} {dt} $ $ = {rm{ }}left| {_0^{pi /4}} வலது.$ $ = frac{pi {4}.$
எடுத்துக்காட்டு 7: பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடவும்:
அ. $I = intlimits_{ – 1}^0 {sqrt {frac{{1 + x}}{{1 – x}}} dx} .$
பி. $I = intlimits_{5/4}^{3/2} {sqrt {(x – 1)(2 – x)} dx} .$
அ. $x = cos2t$, $t இடப்புறம் ( {0; frac{pi {2}} வலது]$ deduce $dx = -2sin2t.dt.$ என அமை
மாற்றவும்: $x = -1$, பிறகு $t = frac{pi {2}$, $x = 0$ க்கு பிறகு $t = frac{pi {4}.$
எங்களிடம் உள்ளது: $sqrt {frac{{1 + x}}{{1 – x}}} dx$ $ = சதுர {frac{{1 + cos 2t}}{{1 – cos 2t}}} (-2sin2t. dt)$ $= |cott|(-2sin2t.dt)$ $= -4cos^{2}t.dt = -2(1 + cos2t)dt.$
பிறகு: $I = – 2intlimits_{pi /2}^{pi /4} {(1 + cos 2t)dt} $ $ = – 2left( {t + frac{1}{2}sin 2t} right)இடது | {_{pi /2}^{pi /4} = frac{pi }{2} – 1} வலது.$.
பி. இடதுபுறத்தில் $x = 1 + sin^{2}t$, $t என அமைக்கவும்[ {0; frac{pi }{2}} right]$ ஊகிக்க $dx = sin2t.dt.$
வரம்பு மாற்றத்திற்கு: $x = frac{5}{4}$ பிறகு $t = frac{pi }{6}$, $x = fracக்கு{3}{2}$ பிறகு $t = frac{pi {4 }.$
எங்களிடம் உள்ளது: $sqrt {(x – 1)(2 – x)} dx$ $ = frac{1}{2}{sin ^2}2tdt$ $ = frac{1}{4}left( {1 – cos 4t} வலது)dt.$
பிறகு: $I = intlimits_{pi /6}^{pi /4} {frac{1}{4}(1 – cos 4t)dt} $ $ = frac{1}{4}இடது. {left( {t – frac{1}{4}sin 4t} right)} right|_{pi /6}^{pi /4}$ $ = frac{pi }{{48}} + frac{{sqrt 3 }}{{32}}.$
சிறப்பு செயல்பாட்டு வகுப்பிற்கான மாறி முறை
ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் பிணைப்பு மற்றும் செயல்பாட்டின் பண்புகளை கருத்தில் கொண்டு, பொதுவாக துணை-இம்ப்லாண்டேஷனை நாம் தேர்வு செய்யலாம்:
+ $I = intlimits_{ – a}^a {f(x)dx}$ உடன் நீங்கள் $x = -t.$ அமைக்க தேர்வு செய்யலாம்
+ $I = intlimits_0^{pi /2} {f(x)dx} உடன் $t = frac{pi }{2} – x.$ஐ அமைக்க $ஐ தேர்வு செய்யலாம்
+ $I = intlimits_0^pi {f(x)dx} உடன் $t = π – x.$ ஐ அமைக்க $ தேர்வு செய்யலாம்
+ $I = intlimits_0^{2pi } {f(x)dx} உடன் $t = 2π – x.$ ஐ அமைக்க $ தேர்வு செய்யலாம்
+ $I = intlimits_a^b {xf(x)dx}$ உடன் நீங்கள் $x = a + b – t.$ அமைக்க தேர்வு செய்யலாம்
எடுத்துக்காட்டு 8: பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடவும்:
அ. $I = intlimits_{ – 1}^1 {{x^{2010}}sin x.dx} .$
பி. $I = intlimits_0^{2pi } {x. {{cos }^3}xdx} .$
அ. $I$ என மீண்டும் எழுதவும்: $I = intlimits_{ – 1}^0 {{x^{2010}}sin x.dx} + intlimits_0^1 {{x^{2010}}sin x.dx} $$
.$
வித்தியாசமான $J = intlimits_{ – 1}^0 {{x^{2010}}sin x.dx} $ஐ $x = -t$ அமைப்பதன் மூலம் $dx = -dt.$ எனக் கருதவும்
மாற்றவும்: $x = -1$ பிறகு $t = 1$, $x = 0$ க்கு பிறகு $t = 0.$
பிறகு: $J = – intlimits_1^0 {{{( – t)}^{2004}}sin ( – t)dt} $ $ = – intlimits_0^1 {{t^{2004}}sin tdt} $$ = – intlimits_0^1 {{x^{2004}}sin xdx} $$(**).$
$(**)$ ஐ $ ஆக மாற்றவும்
$ நாங்கள் $I = 0.$ ஐப் பெறுகிறோம்
பி. அமைக்க $x = 2π – t$ அனுமானம் $dx = -dt.$
வரம்பு மாற்றம்: $x = 2π$ பிறகு $t = 0$, $x = 0$ க்கு பிறகு $t = 2π.$பிறகு: $I = intlimits_{2pi }^0 {(2pi – t). {{cos }^3}(2pi – t)( – dt)} $ $ = intlimits_0^{2pi } {(2pi – t). {{cos }^3}tdt} $$ = 2pi intlimits_0^{2pi } {{{cos }^3}tdt} – intlimits_0^{2pi } {t{{cos }^3}tdt} $$ = frac{ pi {2}intlimits_0^{2pi } {(cos 3t + 3cos t)dt} – I$ $ Leftrightarrow 2I = frac{pi }{2}left( {frac{1}{3}sin 3t + 3sin t} வலது)இடது| {_0^{2pi } = 0} வலது.$ $ இடதுபுறம் நான் = 0.$
எடுத்துக்காட்டு 9
: பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடவும்:
அ. $I = intlimits_0^pi {x.sin x. {{cos }^2}} xdx.$
பி. $I = intlimits_0^{pi /2} {ln இடது( {frac{{1 + sin x}}{{1 + cos x}}} வலது)} dx.$
அ. அமைக்க $x = – t$ deduce $dx = -dt.$
வரம்பு மாற்றம்: $x = π$ பிறகு $t = 0$, $x = 0$ உடன் பிறகு $t = π.$
பிறகு: $I = – intlimits_pi ^0 {(pi – t).sin (pi – t). {{cos }^2}(pi – t)dt} $ $ = intlimits_0^pi {(pi – t).sin t. {{cos }^2}tdt} $$ = pi intlimits_0^pi {sin t. {{cos }^2}tdt} $$ – intlimits_0^pi {t.sin t. {{cos }^2}tdt} $ $ = frac{pi }{2}intlimits_0^pi {sin 2t.cos tdt} – I$ $ Leftrightarrow 2I = frac{pi }{4}intlimits_0^pi {(sin 3t + sin t)dt} $ $I = frac{pi }{8}இடது( { – frac{1}{3}cos 3t – cos t} right)left| {_0^pi} வலது.$ $ = frac{pi {3}.$
பி. அமைக்க $t = frac{pi }{2} – x$ $dx = -dt.$ குறைக்கிறது
வரம்பு மாற்ற: $x = 0$ பிறகு $t = frac{pi }{2}$, $x = frac{pi }{2}$ பிறகு $t = 0.$பிறகு: $I = intlimits_{pi /2}^0 {ln left( {frac{{1 + sin (frac{pi }{2} – t)}}{{1 + cos (frac{pi }{2} – t)}}} வலது)} ( – dt)$ $ = intlimits_0^{pi /2} {ln இடது( {frac{{1 + cos t}}{{1 + sin t}}} வலது)} dt $ $ = – intlimits_0^{pi /2} {ln இடது( {frac{{1 + sin t}}{{1 + cos t}}} வலது)} dt$$ = – intlimits_0^{pi /2} { இடதுபுறம் ( {frac{{1 + sin x}}{{1 + cos x}}} வலது)} dx$ $= -I$ $⇔ 2I = 0 ⇔ I = 0.$
