vectơ trong không gian
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa
1. Vectơ, tốc độ và độ dài của vectơ
- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ ký hiệu đại diện cho điểm bắt đầu A và điểm kết thúc B. được biểu thị bằng véc tơ .
Nội dung chính
- vectơ trong không gian
- A. Kiến thức cần nhớ
- B. Dạng Toán Cơ Bản
- C. Câu hỏi và Bài tập
- Video liên quan
- Chi phí của một vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu độ lớn của chúng song song hoặc bằng nhau. Ngược lại, các vectơ mà giá trị của hai vectơ này cắt nhau hoặc chéo nhau được gọi là các vectơ không cùng phương. Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Độ dài của một vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai điểm cuối là điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Vectơ có độ dài 1 được gọi là vectơ đơn vị hàm. Để độ dài của vectơ | Chúng tôi ký hiệu là |. Vì vậy tôi | =AB.
2. Hai vectơ bằng nhau, không cùng vectơ
- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng phương. Sau đó = Hãy ký tên.
- Vectơ 0 là một vectơ tới hạn có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, nghĩa là với mọi điểm A = tùy ý thì mọi đường thẳng đi qua điểm A đều chứa vectơ đó. Do đó tất cả các vectơ đều bằng nhau, có độ dài bằng không và chỉ cùng hướng với tất cả các vectơ. Vì vậy, chúng tôi viết = cho bất kỳ điểm A, B tùy ý.
II. CỘNG VÀ TRỪ Vectơ
1. Định nghĩa
- Cho hai vectơ và . Vẽ điểm A tùy ý trong khoảng = , = . Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ, còn = + = + được kí hiệu.
- vectơ là nếu | là véc tơ đối của | = | | và, ở hai hướng ngược nhau, ký hiệu = .
- =+(-).
2. Thuộc tính
- + = + (tính năng sửa đổi)
- (+) + = + (+) (các tính năng tích hợp sẵn)
- + = + = (Điểm kỳ dị của vectơ)
- + ( – ) = + = .
3. Những quy tắc cần nhớ khi theo dõi thống kê
a) Quy tắc ba điểm
Tuy với ba điểm A, B, C ta có:
+ =
=
= + ( – ) = + = + ( h. 3.1 ) .
b) Định luật hình bình hànhVới hình bình hành ABCD ta có:
= + (M. 3.2)
c) Quy tắc hình hộp
Ba cạnh AB, AD, AA của hình hộp ABCD.ABCD có chung đỉnh A và AC là đường chéo (h. 3.3):
=++.
d) Mở rộng nguyên tắc ba điểm
Cho n điểm bất kỳ (h. 3.4)
Ta có: + + =
III. trường hợp VECTU với một số
1. Định nghĩa. Cho một số k 0 và một vectơ. Tích ã của một vectơ chứa k là một vectơ, kí hiệu là k, cùng hướng với k nếu k > 0 và ngược hướng với k.
2. Thuộc tính. Với mọi vectơ và với mọi số m, n ta có:
- m(+) = m + m;
- (m + n) = m + n;
- m(n) = (mn);
- 1. = ; (-Đầu tiên). = ;
- 0. = ; k. =. ,
IV. Điều kiện để đặt ba vectơ
1. Khái niệm về sợ đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
Cho ba vectơ khác nhau về khoảng. Từ một điểm o bất kể ta vẽ =, =, =. Khi đó xảy ra hai trường hợp: khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
- Nếu các đường thẳng OA, OB, OC không cùng phẳng thì ta nói ba vectơ , , không đồng phẳng.
- Nếu các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ , , đồng phẳng.
2. Định nghĩa
Trong chân không, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá trị của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định nghĩa 1. Hai vectơ không cùng phương và cùng phương trong không gian. Ba vectơ , , đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các cặp số n = m + n. Ngoài ra, cặp số m, n là duy nhất (h.3.5).
4. Phân tích (biểu thị) một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
Định lý 2
Cho , , là ba vectơ không đồng phẳng. Với mọi vectơ trong không gian, ta tìm được ba số m, n, p sao cho = m + n + p. Và cả ba số m, n, p đều duy nhất.
Đặc biệt =, =, =, = (h. 3.6)
và = + + với = m, = n, = p .
Khi đó : = m + n + p .
B. Dạng Toán Cơ Bản
vấn đề 1
Xác định các thành phần vectơ
1. Phương pháp giải
a) Dựa vào định nghĩa các thành phần của vectơ;
b) Dựa vào đặc điểm hình học của hình đã cho.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC. Chỉ rõ các vectơ bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lăng trụ.
quà
Theo đặc điểm của lăng kính ta có kết luận:=, =, =
=, =, =
= = = = =
=, =, =
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi tên điểm đầu và điểm cuối của hình hộp lần lượt bằng các vectơ và các vectơ .
quà
Theo đặc điểm của hộp (h. 3.8) ta : = = =
= = =
=
Chúng tôi cũng có:= = = – USD Latex Ghi đè Taro { CD } $
= = =
=, v.v.
vấn đề 2
Chứng minh đẳng thức cốc về vectơ
1. Phương pháp giải
a) Chuyển một cạnh này sang cạnh kia và ngược lại bằng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc hộp.
b) Sử dụng tính chất của hàm vectơ và các đặc trưng hình học của hình đã cho.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng ++ = .
quà
Theo đặc điểm của hộp:++ = ++ = .
Dựa vào quy tắc hộp, ta có thể viết ngay:
++ = (m. 3,9)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng
+ = +
quà
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD (h. 3.10).
Chúng ta có:
+ = 2 ( 1 )
và + = 2 (2)
So sánh ( 1 ) và ( 2 ) ta được + = + .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD. Chứng minh rằng
+ = +.
quà
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD (h. 3.11)
Chúng tôi có : | | = | | = | | = | | .
= = + + 2..
= = + + 2 .
+ = 2 + + + 2 (+) .
Mà + = phải += 2 + +
Tương tự ta có : + = 2 ++ .
Từ đó suy ra: + = + .
Ví dụ 4. Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C
quà
vấn đề 3
Chứng minh rằng ba vectơ , , đồng phẳng
1. Phương pháp giải
a) Theo định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ , , song song với một mặt phẳng.
b) Ba vectơ , , m, n đồng phẳng với các cặp số phân biệt sao cho = m + n thì không có hai vectơ nào đồng phẳng.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD. Lấy điểm M trên cạnh AD = 3 và một điểm trên BC sao cho N = 3. Chứng minh rằng ba vectơ , , đồng phẳng.
quà
Giả định = 3
và = 3 (h. 3.13) .
khác = ++ (1)
và = ++
3 = 3 + 3 + 3 (2)
Cộng cả hai vế của đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ), ta cóHệ thức trên chứng tỏ ba vectơ , , đồng phẳng.
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABFE và gọi K là giao điểm của cả hai đường chéo đó. BCGF là đường chéo của hình bình hành. Chứng minh rằng ba vectơ , , đồng phẳng.
quà
Vectơ chi phí thuộc mặt phẳng (ABCD). Vectơ điện tích song song với đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Vectơ chi phí song song với đường thẳng BC trong mặt phẳng (ABCD ). Do đó vectơ Baye là đồng phẳng (Hm. 3.14).
Những cách khác.
Ta có = + = + ( )
= 2 (vì = 2)
Vậy = 2 2. Hệ thức này chứng tỏ rằng ba vectơ , , đồng phẳng.
C. Câu hỏi và Bài tập
3.1Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD. Gọi o và O lần lượt là tâm các hình vuông ABCD và ABCD.
a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho theo vectơ.
b) Chứng minh rằng + + =
Kiểm tra câu trả lời ở đây.
3.2Điểm O và bốn điểm trong không gian A, B, C, D rời rạc không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để dựng đồ thị song song với bốn điểm A, B, C, D:
+ = +.
Kiểm tra câu trả lời ở đây.
3.3Gọi p và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên cạnh AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N
Chứng minh rằng ba vectơ , , đồng phẳng.
Kiểm tra câu trả lời ở đây.
3.4Cho tam giác ABC có độ dài cạnh Trên các cạnh AA, BB, CC ta lấy các điểm M, N, p tương ứng sao cho AM + BN + CP = a.
Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn đi qua một điểm cứng và cố định.
Kiểm tra câu trả lời ở đây.
3,5Trong không gian cho hai hình bình hành ABCD và ABCD chỉ có một điểm chung. Chứng minh rằng các vectơ , , đồng phẳng.
Kiểm tra câu trả lời ở đây.
3.6Cho hình bình hành nằm trong mặt phẳng (à). Đối với một cạnh (à) đối với mặt phẳng, ta dựng một hình bình hành. Ở phần ta lấy lần lượt các điểm như A, B, C, D
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.
Kiểm tra câu trả lời ở đây.
3.7.Cho hình hộp ABCD.ABCD có P, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. Gọi P, Q, Q, R lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDDC, ABCD, ADDA.
a) Chứng minh rằng ++ =
b) Chứng minh rằng hai tam giác PQR và PQR có cùng trọng tâm.
Kiểm tra câu trả lời ở đây.
